Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência (condicional e absoluta) da série
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A série é a soma dos termos gerais
para . - Devemos decidir se a série:
- converge absolutamente;
- converge condicionalmente;
- ou diverge (não converge).
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (teste necessário da soma): se uma série
converge, então o termo geral
deve tender a zero quando
. Em símbolos:
Explicação didática curta: se os termos não vão a zero, somando um número infinito de termos que não se anulam você não pode obter uma soma finita — os termos finais continuam contribuindo com uma quantidade não desprezível. Esse é um teste rápido e obrigatório antes de tentar testes mais sofisticados.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral
. Para isso dividimos numerador e denominador por
:
Agora tomamos o limite quando
. Como
e
, obtemos
Comentário: aqui usei a propriedade de que se duas sequências convergem, o quociente das expressões que não anulam o denominador converge para o quociente dos limites.
Passo 4
Aplicando o teste necessário (Passo 2): como
a série
não pode convergir. Portanto a série diverge. Isso já resolve a questão da convergência propriamente dita.
Passo 5
Agora vamos examinar a convergência absoluta. Definição: a série
converge absolutamente se a série dos módulos
converge. Observação: se
converge então
converge (convergência absoluta implica convergência), mas a recíproca nem sempre é verdadeira.
Passo 6
Analisamos os módulos dos termos. Como
, temos também
. De modo mais direto,
Pelo mesmo teste necessário, a série
não converge. Logo a série não converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão sobre convergência condicional: uma série é condicionalmente convergente quando converge, mas não converge absolutamente. Aqui já provamos que a série não converge (Passo 4), então não pode ser condicionalmente convergente. Em resumo: a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.
Passo 8
Pequeno reforço intuitivo e exemplo para fixar a ideia:
- Se
não tende a zero, somas parciais não podem estabilizar; exemplo simples: dá soma parcial que cresce para infinito. - Exemplo contrastante: para a série geométrica
com , temos e a série converge; isso mostra que termos tendendo a zero é necessário, mas não suficiente (por exemplo, tem termos tendendo a zero e ainda assim diverge).
Resposta
A série diverge; portanto não converge nem condicionalmente nem absolutamente.