Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}-2 n}{2 n^{3}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência (condicional e absoluta) da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}-2 n}{2 n^{3}+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A série é a soma dos termos gerais a_n=\dfrac{n^{3}-2 n}{2 n^{3}+1} para n=1,2,3,\dots.
  • Devemos decidir se a série:
    • converge absolutamente;
    • converge condicionalmente;
    • ou diverge (não converge).

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (teste necessário da soma): se uma série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Em símbolos:
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Explicação didática curta: se os termos não vão a zero, somando um número infinito de termos que não se anulam você não pode obter uma soma finita — os termos finais continuam contribuindo com uma quantidade não desprezível. Esse é um teste rápido e obrigatório antes de tentar testes mais sofisticados.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral a_n. Para isso dividimos numerador e denominador por n^{3}:
a_n=\frac{n^{3}-2 n}{2 n^{3}+1} = \frac{1 - \dfrac{2}{n^{2}}}{2 + \dfrac{1}{n^{3}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{2}{n^{2}}\to 0 e \dfrac{1}{n^{3}}\to 0, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1-0}{2+0} = \frac{1}{2}.
Comentário: aqui usei a propriedade de que se duas sequências convergem, o quociente das expressões que não anulam o denominador converge para o quociente dos limites.

Passo 4

Aplicando o teste necessário (Passo 2): como
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{2} \neq 0,
a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir. Portanto a série diverge. Isso já resolve a questão da convergência propriamente dita.

Passo 5

Agora vamos examinar a convergência absoluta. Definição: a série \sum a_n converge absolutamente se a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge. Observação: se \sum |a_n| converge então \sum a_n converge (convergência absoluta implica convergência), mas a recíproca nem sempre é verdadeira.

Passo 6

Analisamos os módulos dos termos. Como a_n\to \dfrac{1}{2}, temos também |a_n|\to \dfrac{1}{2}. De modo mais direto,
\lim_{n\to\infty} |a_n| = \frac{1}{2} \neq 0.
Pelo mesmo teste necessário, a série \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| não converge. Logo a série não converge absolutamente.

Passo 7

Conclusão sobre convergência condicional: uma série é condicionalmente convergente quando converge, mas não converge absolutamente. Aqui já provamos que a série não converge (Passo 4), então não pode ser condicionalmente convergente. Em resumo: a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

Passo 8

Pequeno reforço intuitivo e exemplo para fixar a ideia:
  • Se a_n não tende a zero, somas parciais não podem estabilizar; exemplo simples: a_n=\tfrac{1}{2} dá soma parcial S_N = \tfrac{N}{2} que cresce para infinito.
  • Exemplo contrastante: para a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n com |r|<1, temos r^n\to 0 e a série converge; isso mostra que termos tendendo a zero é necessário, mas não suficiente (por exemplo, \sum 1/n tem termos tendendo a zero e ainda assim diverge).

Resposta

A série diverge; portanto não converge nem condicionalmente nem absolutamente.

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