Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para estudar sua convergência: se converge absolutamente, condicionalmente, ou diverge.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - O numerador é um polinômio de grau
em e o denominador é um polinômio de grau em . - Para
grande o comportamento de será dominado pelos termos de maior grau dos polinômios.
Passo 2
Vamos usar uma comparação com uma série conhecida (teste prático muito usado em provas): a série harmônica. Lembrete importante sobre séries do tipo
(série p):
- se
, a série converge; - se
, a série diverge.
Em particular, a série harmônica(caso ) diverge. A estratégia será comparar com .
Passo 3
Apresento o Teste da Comparação Limite (Limit Comparison Test), que é fácil de aplicar aqui:
Se e
são termos positivos (ou, pelo menos, positivos para
grande) e
Se
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Intuição: se o quociente tende a um número positivo e finito, os termos têm a mesma ordem de grandeza para grande.
Intuição: se o quociente tende a um número positivo e finito, os termos têm a mesma ordem de grandeza para
Passo 4
Aplicamos o teste escolhendo
. Primeiro verifiquemos que os termos são positivos para
grande: para
temos
e
, ou seja,
para
. Logo podemos aplicar o teste da comparação limite.
Calculemos o limite
Para avaliar esse limite, fatoramos
no numerador e denominador ou observamos os graus dos polinômios. Façamos a fatoração explícita:
Agora tomamos o limite quando
; os termos
vão para zero:
Portanto o quociente tem limite
, que é um número positivo e finito.
Passo 5
Pelo Teste da Comparação Limite (Passo 3), como
as séries
e
têm o mesmo comportamento. Como sabemos que
diverge (série harmônica), concluímos que
também diverge.
Passo 6
Sobre convergência absoluta e condicional:
- A convergência absoluta significaria que
converge. Como para grande , temos a partir de suficientemente grande, e portanto tem o mesmo comportamento de . Como diverge, a série não converge absolutamente. - Convergência condicional ocorre quando a série original converge mas a série dos valores absolutos diverge. Aqui a série original já diverge, logo ela também não é condicionalmente convergente.
Resposta
A série
diverge; não é absolutamente nem condicionalmente convergente.