Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1}
e pede para estudar sua convergência: se converge absolutamente, condicionalmente, ou diverge.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1}.
  • O numerador é um polinômio de grau 2 em n e o denominador é um polinômio de grau 3 em n.
  • Para n grande o comportamento de a_n será dominado pelos termos de maior grau dos polinômios.

Passo 2

Vamos usar uma comparação com uma série conhecida (teste prático muito usado em provas): a série harmônica. Lembrete importante sobre séries do tipo 1/n^p (série p):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
  • se p>1, a série converge;
  • se p\le 1, a série diverge.
    Em particular, a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} (caso p=1) diverge. A estratégia será comparar a_n com \dfrac{1}{n}.

Passo 3

Apresento o Teste da Comparação Limite (Limit Comparison Test), que é fácil de aplicar aqui:
Se a_n e b_n são termos positivos (ou, pelo menos, positivos para n grande) e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Intuição: se o quociente tende a um número positivo e finito, os termos têm a mesma ordem de grandeza para n grande.

Passo 4

Aplicamos o teste escolhendo b_n=\dfrac{1}{n}. Primeiro verifiquemos que os termos são positivos para n grande: para n\ge 2 temos 3n^{2}-7>0 e 5n^{3}+4n+1>0, ou seja, a_n>0 para n\ge 2. Logo podemos aplicar o teste da comparação limite.
Calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty} n\cdot a_n =\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1}.
Para avaliar esse limite, fatoramos n^{3} no numerador e denominador ou observamos os graus dos polinômios. Façamos a fatoração explícita:
n\cdot\frac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1} =\frac{3 n^{3}-7 n}{5 n^{3}+4 n+1} =\frac{n^{3}\left(3-\dfrac{7}{n^{2}}\right)}{n^{3}\left(5+\dfrac{4}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}\right)} =\frac{3-\dfrac{7}{n^{2}}}{5+\dfrac{4}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty; os termos \dfrac{7}{n^{2}},\dfrac{4}{n^{2}},\dfrac{1}{n^{3}} vão para zero:
\lim_{n\to\infty}\frac{3-\dfrac{7}{n^{2}}}{5+\dfrac{4}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}} =\frac{3}{5}.
Portanto o quociente tem limite L=\dfrac{3}{5}, que é um número positivo e finito.

Passo 5

Pelo Teste da Comparação Limite (Passo 3), como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=\frac{3}{5}\in(0,\infty),
as séries \sum a_n e \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento. Como sabemos que \sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1}
também diverge.

Passo 6

Sobre convergência absoluta e condicional:
  • A convergência absoluta significaria que \sum |a_n| converge. Como para n grande a_n>0, temos |a_n|=a_n a partir de n suficientemente grande, e portanto \sum |a_n| tem o mesmo comportamento de \sum a_n. Como \sum a_n diverge, a série não converge absolutamente.
  • Convergência condicional ocorre quando a série original converge mas a série dos valores absolutos diverge. Aqui a série original já diverge, logo ela também não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n^{2}-7}{5 n^{3}+4 n+1} diverge; não é absolutamente nem condicionalmente convergente.

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