Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifique-as em absoluta ou condicionalmente convergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 n)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!},
e que a classifique como absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Informações dadas que são relevantes:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}.
  • A série é indexada por n=1,2,3,\dots.
    A partir daqui vamos manipular o termo geral para ver se a série converge ou diverge.

Passo 2

Vou simplificar o numerador 2\cdot4\cdot6\cdots(2n). Observe que cada fator pode ser escrito como 2k com k=1,2,\dots,n. Então
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=\prod_{k=1}^{n}(2k).
Agora fatoro o 2 de cada termo da multiplicação. Como há n fatores 2, isso dá
\prod_{k=1}^{n}(2k)=2^n\prod_{k=1}^{n}k.
Mas \prod_{k=1}^{n}k é exatamente n!. Portanto
2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n n!.

Passo 3

Substituindo a simplificação no termo geral, obtemos
a_n=\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{n!}=\frac{2^n n!}{n!}=2^n.
Um exemplo numérico rápido para checar: para n=3 temos 2\cdot4\cdot6=48 e 3!=6, então 48/6=8=2^3. Tudo bate.

Passo 4

Agora a série passa a ser
\sum_{n=1}^{\infty}2^n.
Duas maneiras simples de ver que isso diverge:
  1. Teste da soma geométrica: trata-se de uma série geométrica com razão r=2. Uma série geométrica \sum ar^{n} converge somente se |r|<1. Como |2|>1, a série diverge.
  2. Teste do termo geral (teste necessário): para uma série convergir é necessário que o termo geral tenda a zero, isto é, \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui \lim_{n\to\infty}2^n=+\infty\neq0, logo a série não pode convergir.
    Ambas as observações mostram claramente que a série diverge.

Passo 5

Como todos os termos são positivos, a noção de convergência absoluta coincide com a própria convergência (isto é, se a série original não converge, a série dos valores absolutos também não converge). Assim, por divergir a série original, ela não é absolutamente convergente. E, por definição, somente faz sentido falar em convergência condicional quando a série converge mas a série dos módulos diverge; aqui a série já não converge, portanto também não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge.
Não é absolutamente convergente.
Não é condicionalmente convergente.

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