Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifique-as em absoluta ou condicionalmente convergente.
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a convergência da série
e que a classifique como absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- O termo geral da série é
. - A série é indexada por
.
A partir daqui vamos manipular o termo geral para ver se a série converge ou diverge.
Passo 2
Vou simplificar o numerador
. Observe que cada fator pode ser escrito como
com
. Então
Agora fatoro o
de cada termo da multiplicação. Como há
fatores
, isso dá
Mas
é exatamente
. Portanto
Passo 3
Substituindo a simplificação no termo geral, obtemos
Um exemplo numérico rápido para checar: para
temos
e
, então
. Tudo bate.
Passo 4
Agora a série passa a ser
Duas maneiras simples de ver que isso diverge:
- Teste da soma geométrica: trata-se de uma série geométrica com razão
. Uma série geométrica converge somente se . Como , a série diverge. - Teste do termo geral (teste necessário): para uma série convergir é necessário que o termo geral tenda a zero, isto é,
. Aqui , logo a série não pode convergir.
Ambas as observações mostram claramente que a série diverge.
Passo 5
Como todos os termos são positivos, a noção de convergência absoluta coincide com a própria convergência (isto é, se a série original não converge, a série dos valores absolutos também não converge). Assim, por divergir a série original, ela não é absolutamente convergente. E, por definição, somente faz sentido falar em convergência condicional quando a série converge mas a série dos módulos diverge; aqui a série já não converge, portanto também não é condicionalmente convergente.
Resposta
A série diverge.
Não é absolutamente convergente.
Não é condicionalmente convergente.
Não é absolutamente convergente.
Não é condicionalmente convergente.