Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifique-as em absoluta ou condicionalmente convergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n \ln n}{(n+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n \ln n}{(n+2)^{3}}
e classificá-la como absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Informações dadas: para cada n\ge1 o termo geral é a_n = \dfrac{(-1)^{n+1} n \ln n}{(n+2)^{3}}. Quero decidir (1) se a série converge ou diverge e (2) se a convergência é absoluta ou apenas condicional.

Passo 2

Estratégia natural: testar primeiro a convergência absoluta, ou seja estudar a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \ln n}{(n+2)^{3}}.
Se essa série convergir, a série original converge absolutamente (e então converge). Para estudar \sum |a_n| vou comparar com uma série mais simples cujo comportamento conheço bem: \displaystyle b_n=\frac{\ln n}{n^{2}}. Observe a identidade algébrica
\frac{n \ln n}{(n+2)^{3}} = \frac{\ln n}{n^{2}}\cdot\frac{n^{3}}{(n+2)^{3}}.
A ideia é usar o teste da comparação limite (limit comparison test) entre |a_n| e b_n.

Passo 3

Calculo o limite da razão entre |a_n| e b_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n \ln n}{(n+2)^{3}}}{\dfrac{\ln n}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{(n+2)^{3}}.
Agora calcule o limite simples:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{(n+2)^{3}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^{3} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}\right)^{3}=1^{3}=1.
Como esse limite é um número finito não nulo ( =1), o teste da comparação limite diz que \sum |a_n| converge se, e somente se, \sum b_n converge. Portanto reduzi o problema à análise da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}.

Passo 4

Vou provar que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}} converge. Uma maneira direta é usar o teste da integral. Considere a função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}},\qquad x\ge2.
Primeiro, f é positiva para x\ge2. Para aplicar o teste da integral também é útil saber que f é eventualmente decrescente; calcule a derivada:
f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}.
Para x\ge e^{1/2} tem-se 1-2\ln x\le0, então f'(x)\le0 e f é decrescente a partir de um ponto fixo (em particular para x\ge2). Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas. Calcule a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.
Faça integração por partes: tome u=\ln x e dv=x^{-2}dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=-\dfrac{1}{x}. Logo
\int \frac{\ln x}{x^{2}}dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^{2}}dx = -\frac{\ln x}{x} -\frac{1}{x} + C.
Avalie o limite impróprio:
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}dx = \lim_{R\to\infty}\left(-\frac{\ln R}{R}-\frac{1}{R}\right) - \left(-\frac{\ln 2}{2}-\frac{1}{2}\right).
Como \displaystyle\lim_{R\to\infty}\frac{\ln R}{R}=0 e \lim_{R\to\infty}\frac{1}{R}=0, a integral converge e é igual a \dfrac{\ln 2}{2}+\dfrac{1}{2}, um número finito. Pelo teste da integral, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}
converge. (As primeiras parcelas finitas não afetam a convergência da série completa que inicia em n=1.)

Passo 5

Pelo Passo 3 e Passo 4, \sum b_n converge e a razão limite entre |a_n| e b_n é 1, então \sum |a_n|=\sum \dfrac{n\ln n}{(n+2)^3} também converge. Portanto a série original converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, concluímos que a série converge e a convergência é absoluta (não apenas condicional).

Resposta

A série converge absolutamente.

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