Estude a convergência ou divergência das séries abaixo: Classifique-as em absoluta ou condicionalmente convergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e classificá-la como absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Informações dadas: para cada o termo geral é
. Quero decidir (1) se a série converge ou diverge e (2) se a convergência é absoluta ou apenas condicional.
Informações dadas: para cada
Passo 2
Estratégia natural: testar primeiro a convergência absoluta, ou seja estudar a série dos módulos
Se essa série convergir, a série original converge absolutamente (e então converge). Para estudar
vou comparar com uma série mais simples cujo comportamento conheço bem:
. Observe a identidade algébrica
A ideia é usar o teste da comparação limite (limit comparison test) entre
e
.
Passo 3
Calculo o limite da razão entre
e
:
Agora calcule o limite simples:
Como esse limite é um número finito não nulo (
), o teste da comparação limite diz que
converge se, e somente se,
converge. Portanto reduzi o problema à análise da série
Passo 4
Vou provar que
converge. Uma maneira direta é usar o teste da integral. Considere a função
Primeiro,
é positiva para
. Para aplicar o teste da integral também é útil saber que
é eventualmente decrescente; calcule a derivada:
Para
tem-se
, então
e
é decrescente a partir de um ponto fixo (em particular para
). Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas. Calcule a integral imprópria
Faça integração por partes: tome
e
. Então
e
. Logo
Avalie o limite impróprio:
Como
e
, a integral converge e é igual a
, um número finito. Pelo teste da integral, a série
converge. (As primeiras parcelas finitas não afetam a convergência da série completa que inicia em
.)
Passo 5
Pelo Passo 3 e Passo 4,
converge e a razão limite entre
e
é
, então
também converge. Portanto a série original converge absolutamente. Como convergência absoluta implica convergência, concluímos que a série converge e a convergência é absoluta (não apenas condicional).
Resposta
A série converge absolutamente.