Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência — tanto condicional quanto absoluta — da série
Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - Para
temos (por exemplo, em dá ), e . Logo para todo . - Precisamos decidir se a série converge ou diverge; e, caso convergente, se é absolutamente ou apenas condicionalmente convergente.
Passo 2
Primeiro vou explicar o que significam convergência absoluta e condicional, de forma bem direta:
- A série
converge absolutamente se a série converge. - A série converge condicionalmente se
converge, mas diverge.
Uma observação importante para o nosso caso: comopara todo , temos . Assim, para esta série a convergência e a convergência absoluta são a mesma coisa: se converge então converge absolutamente; se diverge então não há convergência nem absoluta nem condicional.
Passo 3
Qual método usar? Observando os graus de
no numerador e denominador, o termo geral parece ter comportamento assintótico como uma constante vezes
: o numerador tem grau
e o denominador tem grau
, então esperamos
. Isso sugere usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test) com a série harmônica
, cujas propriedades conhecemos:
diverge (série harmônica).
Passo 4
Vou enunciar o Teste da Comparação por Limite (em termos simples):
Se e
para
grande e existir o limite
Se
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. Aqui escolho
.
Passo 5
Calculo o limite do quociente
:
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por
:
Agora, quando
temos
, logo
Portanto o limite
existe e é
, que é um número positivo e finito.
Passo 6
Pelo Teste da Comparação por Limite (Passo 4), como
, a série
tem o mesmo comportamento da série
.
Sabemos que a série harmônica
Sabemos que a série harmônica
dádiverge (uma prova clássica é o argumento por agrupamento:
cada bloco é ≥
, somando infinitos
dá infinito). Logo a harmônica diverge, e portanto a nossa série também diverge.
Passo 7
Concluindo,
diverge. Como todos os termos são positivos, não faz sentido falar em convergência condicional (a convergência absoluta coincide com a convergência quando os termos são não negativos); portanto a série não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente diverge.
Resposta
A série
diverge; não é absolutamente nem condicionalmente convergente.