Estude a convergência (condicional e absoluta) das séries a seguir:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 n^{5}-3}{2 n^{6}+n}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência — tanto condicional quanto absoluta — da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 n^{5}-3}{2 n^{6}+n}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\frac{6 n^{5}-3}{2 n^{6}+n}.
  • Para n\ge 1 temos 6 n^{5}-3>0 (por exemplo, em n=1 3), e 2 n^{6}+n>0. Logo a_{n}>0 para todo n\ge1.
  • Precisamos decidir se a série converge ou diverge; e, caso convergente, se é absolutamente ou apenas condicionalmente convergente.

Passo 2

Primeiro vou explicar o que significam convergência absoluta e condicional, de forma bem direta:
  • A série \displaystyle\sum a_n converge absolutamente se a série \displaystyle\sum |a_n| converge.
  • A série converge condicionalmente se \displaystyle\sum a_n converge, mas \displaystyle\sum |a_n| diverge.
    Uma observação importante para o nosso caso: como a_n>0 para todo n, temos |a_n|=a_n. Assim, para esta série a convergência e a convergência absoluta são a mesma coisa: se \sum a_n converge então converge absolutamente; se diverge então não há convergência nem absoluta nem condicional.

Passo 3

Qual método usar? Observando os graus de n no numerador e denominador, o termo geral parece ter comportamento assintótico como uma constante vezes 1/n: o numerador tem grau 5 e o denominador tem grau 6, então esperamos a_n\sim C\cdot\frac{1}{n}. Isso sugere usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test) com a série harmônica \displaystyle\sum \frac{1}{n}, cujas propriedades conhecemos: \displaystyle\sum \frac{1}{n} diverge (série harmônica).

Passo 4

Vou enunciar o Teste da Comparação por Limite (em termos simples):
Se a_n>0 e b_n>0 para n grande e existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem. Aqui escolho b_n=\dfrac{1}{n}.

Passo 5

Calculo o limite do quociente \dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a_n}{1/n}=n a_n:
\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{6 n^{5}-3}{2 n^{6}+n} = \lim_{n\to\infty} \frac{6 n^{6}-3 n}{2 n^{6}+n}.
Para avaliar esse limite, divido numerador e denominador por n^{6}:
\frac{6 n^{6}-3 n}{2 n^{6}+n} = \frac{6 - 3 n^{-5}}{2 + n^{-5}}.
Agora, quando n\to\infty temos n^{-5}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty} \frac{6 - 3 n^{-5}}{2 + n^{-5}} = \frac{6}{2} = 3.
Portanto o limite L existe e é L=3, que é um número positivo e finito.

Passo 6

Pelo Teste da Comparação por Limite (Passo 4), como L=3\in(0,\infty), a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n tem o mesmo comportamento da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.
Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
dádiverge (uma prova clássica é o argumento por agrupamento: 1+\tfrac12+\left(\tfrac13+\tfrac14\right)+\left(\tfrac15+\tfrac16+\tfrac17+\tfrac18\right)+\cdots cada bloco é ≥ \tfrac12, somando infinitos \tfrac12 dá infinito). Logo a harmônica diverge, e portanto a nossa série também diverge.

Passo 7

Concluindo, \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 n^{5}-3}{2 n^{6}+n} diverge. Como todos os termos são positivos, não faz sentido falar em convergência condicional (a convergência absoluta coincide com a convergência quando os termos são não negativos); portanto a série não é absolutamente convergente nem condicionalmente convergente — simplesmente diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6 n^{5}-3}{2 n^{6}+n} diverge; não é absolutamente nem condicionalmente convergente.

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