Estude a convergência da sequência:
ln (2+e^n)3 n

Passo 1

A sequência em questão é an = dfraclnl(2 + e^nr)3n. O objetivo é estudar a convergência de an quando n to infty, ou seja, achar limntoinfty an. Vamos usar propriedades de logaritmo e limites de funções exponenciais.

Passo 2

Para simplificar o numerador, aplicamos a propriedade ln(xy)=ln x + ln y ao termo 2 + e^n = e^n(1 + 2e^-n). Assim, temos:
lnl(2 + e^nr) = lnl(e^n(1 + 2e^-n)r) = n + lnl(1 + 2e^-nr)

Passo 3

Agora dividimos por 3n para reescrever an:
an = ln(2+e^n)3n = n + ln(1+2e^-n)3n = 13 + ln(1+2e^-n)3n

Passo 4

Falta examinar o termo dfracln(1+2e^-n)3n. Como e^-n to 0 quando n to infty, temos 1 + 2e^-n to 1 e portanto ln(1 + 2e^-n) to 0. Logo:
ln(1+2e^-n)3n ;xrightarrow[ntoinfty]; 0

Passo 5

Concluímos que
an = 13 + ln(1+2e^-n)3n xrightarrow[ntoinfty] 13 + 0 = 13

Resposta

A sequência converge e seu limite é tfrac13.

Exercícios relacionados