Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
11.3+13.5+15.7+17.9+ldots

Passo 1

O exercício pede pra gente verificar se a série 11cdot3+13cdot5+15cdot7+dots converge ou diverge e, se convergir, achar a soma. Esse é um caso clássico de série telescópica usando frações parciais.

Passo 2

Para decompor o termo geral an=1(2n-1)(2n+1), escrevemos
1(2n-1)(2n+1)=A2n-1+B2n+1

Passo 3

Montando a equação A(2n+1)+B(2n-1)=1 vemos que A+B=0 e A-B=1, logo A=tfrac12 e B=-tfrac12. Assim
1(2n-1)(2n+1)=12l(12n-1-12n+1r)

Passo 4

Agora somamos os primeiros N termos e percebemos o cancelamento telescópico:
SN=sumn=1^N1(2n-1)(2n+1)=12sumn=1^Nl(12n-1-12n+1r)=12l(1-12N+1r)=N2N+1

Passo 5

Finalmente, tomando o limite quando Ntoinfty
limNtoinftySN=limNtoinftyN2N+1=12,concluímos que a série converge e tem soma tfrac12.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac12.

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