Estude a convergência da sequência:
(-1)^n e^n+1n^3+1

Passo 1

A sequência é dada por an = (-1)^n e^n+1n^3+1. Vamos estudar a convergência, ou seja, ver se existe limntoinfty an. Para isso, precisamos entender como crescem o numerador exponencial e o denominador polinomial.

Passo 2

Vamos analisar o valor absoluto |an| = e^n+1n^3+1 e usar o teste da razão para séries ou sequências. Calculamos:

Passo 3

|an+1||an| = e^(n+1)+1(n+1)^3+1e^n+1n^3+1 = e cdot n^3+1(n+1)^3+1 to e (ntoinfty)
Como esse limite é e>1, concluímos que |an|to+infty, ou seja, os termos crescem sem limite em valor absoluto.

Passo 4

Como |an| cresce sem limite, an não pode convergir a um número finito. Além disso, o fator (-1)^n faz com que o sinal dos termos oscile, impedindo qualquer convergência condicional.

Resposta

A sequência diverge, pois |an|to+infty e há oscilações de sinal.

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