Estude a convergência da sequência a_{n}=\frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}} para p>0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=\frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},
com parâmetro p>0, e pede para estudar a convergência de a_{n} quando n\to\infty.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a soma de potências normalizada por n^{p+1} pode ser vista como um soma de Riemann, que tende a um valor de integral.

Passo 2

Vamos reescrever a_{n} de forma a evidenciar um passo de soma de Riemann. Note que
\frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\biggl(\frac{k}{n}\biggr)^{p}.
Para ver isso basta dividir numerador e denominador por n^p e em seguida por n.

Passo 3

A expressão
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\biggl(\frac{k}{n}\biggr)^{p}
é exatamente o formato de uma soma de Riemann para a função f(x)=x^{p} no intervalo [0,1], usando pontos x_{k}=\tfrac{k}{n} e subintervalos de largura \Delta x=\tfrac{1}{n}.

Passo 4

Pela teoria de integrais definidas, sabemos que, se f é contínua em [0,1], então
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\bigl(x_{k}\bigr) =\int_{0}^{1}f(x)\,dx.
Como f(x)=x^{p} é contínua em [0,1], concluímos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\int_{0}^{1}x^{p}\,dx =\biggl[\frac{x^{p+1}}{p+1}\biggr]_{0}^{1} =\frac{1}{p+1}.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1}{p+1}.

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