Estude a convergência da sequência
para
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
com parâmetro
, e pede para estudar a convergência de
quando
.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a soma de potências normalizada por pode ser vista como um soma de Riemann, que tende a um valor de integral.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que a soma de potências normalizada por
Passo 2
Vamos reescrever
de forma a evidenciar um passo de soma de Riemann. Note que
Para ver isso basta dividir numerador e denominador por
e em seguida por
.
Passo 3
A expressão
é exatamente o formato de uma soma de Riemann para a função
no intervalo
, usando pontos
e subintervalos de largura
.
Passo 4
Pela teoria de integrais definidas, sabemos que, se
é contínua em
, então
Como
é contínua em
, concluímos