Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n-1}}{3^{n}-2}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n-1}}{3^{n}-2}
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da condição necessária (termo geral) e o teste da razão.

Passo 2

Aplicamos a condição necessária: para uma série \sum a_n convergir é preciso que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Aqui
a_n = \frac{4^{n-1}}{3^n-2} =\frac{4^n}{4(3^n-2)} \sim \frac{4^n}{4\cdot3^n} =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n.
Como \frac{4}{3}>1, temos \lim_{n\to\infty}a_n=\infty\neq0. Logo a série não satisfaz a condição necessária e diverge imediatamente.

Passo 3

Para reforçar com o teste da razão, calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{4^{n}}{3^{n+1}-2}}{\tfrac{4^{n-1}}{3^n-2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{4\,(3^n-2)}{3\,(3^n+1)-2\cdot3} =\frac{4}{3}>1.
Como a razão é maior que 1, o teste da razão também indica divergência.

Resposta

A série diverge.

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