Estude a convergência da sequência:
Passo 1
O exercício pede para estudar a convergência da sequência
. O conteúdo é análise de sequência numérica real e veremos se há limite finito ou infinito.
Passo 2
Lembrando a definição: uma sequência
converge para
se, para todo
, existe
tal que para todo
temos
. Se não existir tal
, dizemos que diverge.
Passo 3
Observamos que
está sempre no intervalo
, mas não converge para valor fixo quando
. Na verdade, o conjunto
é denso em
, pois
é irracional e a sequência
é equidistribuída.
Passo 4
Como há termos de
arbitrariamente próximos de 1, podemos escolher uma subsequência
tal que
. Para essa subsequência,
Passo 5
Logo, não só não há limite finito, como a sequência é não limitada superiormente. De modo análogo, há termos tão próximos de -1 que mostram não ser limitada inferiormente.
Passo 6
Concluímos que
não converge — ela diverge e é não limitada.
Resposta
A sequência diverge (não tem limite finito) e é não limitada.