Estude a convergência da sequência:
n cos n

Passo 1

O exercício pede para estudar a convergência da sequência an = n cos n. O conteúdo é análise de sequência numérica real e veremos se há limite finito ou infinito.

Passo 2

Lembrando a definição: uma sequência an converge para L se, para todo epsilon>0, existe N tal que para todo n>N temos |an - L|. Se não existir tal L, dizemos que diverge.

Passo 3

Observamos que cos n está sempre no intervalo [-1,1], mas não converge para valor fixo quando ntoinfty. Na verdade, o conjunto cos n:ninN é denso em [-1,1], pois 2pi é irracional e a sequência nbmod 2pi é equidistribuída.

Passo 4

Como há termos de cos n arbitrariamente próximos de 1, podemos escolher uma subsequência nk tal que cos nkto1. Para essa subsequência,
ank = nkcos nk approx nk cdot 1 to +infty

Passo 5

Logo, não só não há limite finito, como a sequência é não limitada superiormente. De modo análogo, há termos tão próximos de -1 que mostram não ser limitada inferiormente.

Passo 6

Concluímos que an = ncos n não converge — ela diverge e é não limitada.

Resposta

A sequência diverge (não tem limite finito) e é não limitada.

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