Estude a Convergência.
Sequência numérica \left\{\frac{2 n^{5}}{e^{2 n}}\right\} (use a definição)

Passo 1

O enunciado pede: estudar a convergência da sequência \left\{\frac{2 n^{5}}{e^{2 n}}\right\} usando a definição (ou seja, provar que ela converge ou diverge usando a definição \varepsilon- N).\n
Informações dadas:
a_n=\frac{2 n^{5}}{e^{2 n}},\qquad n\in\mathbb{N}.
O que precisamos decidir e provar: existe L\in\mathbb{R} tal que, para todo \varepsilon>0, existe N com |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N, e identificar esse L (se existir).

Passo 2

Vou lembrar a definição de convergência de sequência (essa é a ferramenta que o enunciado manda usar). Dizemos que \{a_n\} converge para L se:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ |a_n-L|<\varepsilon\\ \text{para todo }n\ge N.
Explicando as letras: \varepsilon>0 é a precisão que eu exijo; N é um índice (dependente de \varepsilon) a partir do qual todos os termos da sequência ficam a distância menor que \varepsilon do limite L. Nosso objetivo é encontrar um candidato L e provar a condição acima.

Passo 3

Intuição/hipótese: polinômios ( n^5) crescem muito mais devagar que exponenciais ( e^{2n}). Então é natural supor que
\lim_{n\to\infty}\frac{2 n^{5}}{e^{2 n}}=0.
Vou provar rigorosamente que L=0 satisfaz a definição \varepsilon- N.

Passo 4

Para simplificar a escrita, note que
e^{2n}=(e^{2})^{n}.
Definindo r:=e^{2} temos r>1 e
a_n=\frac{2 n^{5}}{e^{2 n}}=\frac{2 n^{5}}{r^{n}}.
A estratégia será comparar n^{5} com uma potência de r para obter uma cota simples que tenda a zero.

Passo 5

Quero obter uma desigualdade do tipo n^{5}\le r^{n/2} para n suficientemente grande. Tomando logaritmo natural (função crescente), a desigualdade equivalente é
5\ln n \le \frac{n}{2}\ln r.
Como \ln r=\ln(e^{2})=2, essa condição fica
5\ln n \le n.
Agora uso um fato conhecido (e fácil de justificar com análise): \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Dessa forma \frac{5\ln n}{n}\to0, então para n grande essa fração é menor que 1, isto é, existe N_1 tal que para todo n\ge N_1 temos 5\ln n\le n. (Podemos tomar um valor explícito: testando alguns n vemos que para n=13 temos 5\ln 13\approx 12{,}825\le 13, então N_1=13 funciona.) Portanto, para todo n\ge N_1 vale
n^{5}\le r^{n/2}.

Passo 6

Usando a desigualdade do passo anterior, para n\ge N_1 obtemos
a_n=\frac{2 n^{5}}{r^{n}}\le \frac{2 r^{n/2}}{r^{n}}=2 r^{-n/2}.
Portanto, para n\ge N_1 basta controlar 2 r^{-n/2} para controlar a_n.

Passo 7

Agora faço a prova \varepsilon- N. Seja \varepsilon>0 arbitrário. Queremos N tal que para todo n\ge N tenha |a_n-0|=a_n<\varepsilon.
Caso trivial: se \varepsilon\ge 2 então a_n\le 2<\varepsilon para todo n, logo podemos escolher N=1. Assim assume-se \varepsilon<2 e, consequentemente, \varepsilon/2\in(0,1).
Para n\ge N_1 usamos a cota do passo anterior e exigimos
2 r^{-n/2}<\varepsilon.
Isso é equivalente a
r^{-n/2}<\frac{\varepsilon}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{n}{2}\ln r<\ln\!\left(\frac{\varepsilon}{2}\right).
Como \ln r=2 (lembre que r=e^{2}), a desigualdade se simplifica a
-n<\ln\!\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)\quad\Longleftrightarrow\quad n>-\ln\!\left(\frac{\varepsilon}{2}\right).
Portanto, escolhendo
N_2=\left\lceil -\ln\!\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)\right\rceil
garantimos que 2 r^{-n/2}<\varepsilon para todo n\ge N_2 (no caso \varepsilon<2). (Se \varepsilon\ge2 já tomamos N=1.)

Passo 8

Agora defina
N=\max\{N_1,N_2\}.
Para esse N temos: se n\ge N então n\ge N_1 e n\ge N_2, logo
a_n\le 2 r^{-n/2}<\varepsilon.
Isto mostra que para todo \varepsilon>0 existe N (construído acima) tal que |a_n-0|<\varepsilon para todo n\ge N. Pelo critério \varepsilon- N, a sequência converge para 0.

Passo 9

Resumo e comentário final (pra te motivar): a prova combinou um argumento qualitativo (exponencial domina polinomial) com um controle quantitativo via desigualdades e logaritmos, resultando numa construção explícita de N em função de \varepsilon. Um exemplo numérico rápido: para \varepsilon=0{,}01 temos -\ln(\varepsilon/2)=-\ln(0{,}005)\approx 5{,}298, então N_2=6; como podemos tomar N_1=13, escolhemos N=13 e garantimos que todos os termos com n\ge13 estão a menos de 0{,}01 de 0. Força aí — você já consegue justificar esse tipo de prova na prova!

Resposta

Converge para 0.

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