Estude a Convergência.
Sequência numérica
(use a definição)
Sequência numérica
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência da sequência
usando a definição (ou seja, provar que ela converge ou diverge usando a definição
-
).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos decidir e provar: existe
tal que, para todo
, existe
com
para todo
, e identificar esse
(se existir).
Passo 2
Vou lembrar a definição de convergência de sequência (essa é a ferramenta que o enunciado manda usar). Dizemos que
converge para
se:
Explicando as letras:
é a precisão que eu exijo;
é um índice (dependente de
) a partir do qual todos os termos da sequência ficam a distância menor que
do limite
. Nosso objetivo é encontrar um candidato
e provar a condição acima.
Passo 3
Intuição/hipótese: polinômios (
) crescem muito mais devagar que exponenciais (
). Então é natural supor que
Vou provar rigorosamente que
satisfaz a definição
-
.
Passo 4
Para simplificar a escrita, note que
Definindo
temos
e
A estratégia será comparar
com uma potência de
para obter uma cota simples que tenda a zero.
Passo 5
Quero obter uma desigualdade do tipo
para
suficientemente grande. Tomando logaritmo natural (função crescente), a desigualdade equivalente é
Como
, essa condição fica
Agora uso um fato conhecido (e fácil de justificar com análise):
. Dessa forma
, então para
grande essa fração é menor que
, isto é, existe
tal que para todo
temos
. (Podemos tomar um valor explícito: testando alguns
vemos que para
temos
, então
funciona.) Portanto, para todo
vale
Passo 6
Usando a desigualdade do passo anterior, para
obtemos
Portanto, para
basta controlar
para controlar
.
Passo 7
Agora faço a prova
-
. Seja
arbitrário. Queremos
tal que para todo
tenha
.
Caso trivial: se
então
para todo
, logo podemos escolher
. Assim assume-se
e, consequentemente,
.
Para
usamos a cota do passo anterior e exigimos
Isso é equivalente a
Como
(lembre que
), a desigualdade se simplifica a
Portanto, escolhendo
garantimos que
para todo
(no caso
). (Se
já tomamos
.)
Passo 8
Agora defina
Para esse
temos: se
então
e
, logo
Isto mostra que para todo
existe
(construído acima) tal que
para todo
. Pelo critério
-
, a sequência converge para
.
Passo 9
Resumo e comentário final (pra te motivar): a prova combinou um argumento qualitativo (exponencial domina polinomial) com um controle quantitativo via desigualdades e logaritmos, resultando numa construção explícita de
em função de
. Um exemplo numérico rápido: para
temos
, então
; como podemos tomar
, escolhemos
e garantimos que todos os termos com
estão a menos de
de
. Força aí — você já consegue justificar esse tipo de prova na prova!
Resposta
Converge para
.