120 \_(ITA -94 ) Sejam x e y números reais, com \mathrm{x} \neq 0, satisfazendo (x+i y)^{2}= (x+y) i, então:
a) x e y são números irracionais.
b) x>0 e y<0.
c) x é uma raiz da equação x^{3}+3 x^{2}+2 x-6=0
d) x<0 e y=z

Passo 1

O enunciado dá que x e y são números reais com x\neq 0 e que satisfazem a igualdade entre números complexos
(x+i\,y)^{2}=(x+y)\,i.
Pergunta-se, por meio das alternativas fornecidas, quais afirmações sobre x e y são verdadeiras. Informações relevantes: x e y reais, x\neq 0, e a relação complexa acima.

Passo 2

Primeiro, vou desenvolver o quadrado do número complexo à esquerda. Lembre que, para números reais x e y,
(x+i\,y)^{2}=x^{2}+2i\,x y + i^{2}y^{2}.
E também que i^{2}=-1. Substituindo:
(x+i\,y)^{2}=(x^{2}-y^{2})+2i\,x y.
Isso representa um número complexo com parte real x^{2}-y^{2} e parte imaginária 2x y.

Passo 3

A igualdade dada é
(x^{2}-y^{2})+2i\,x y = (x+y)\,i.
O lado direito (x+y)\,i tem parte real zero e parte imaginária x+y. Dois números complexos são iguais exatamente quando suas partes reais e imaginárias coincidem. Logo obtemos o sistema de equações reais:
x^{2}-y^{2}=0
2x y = x+y.
Vou resolver esse sistema. (Explicação breve: igualar partes real e imaginária é válido porque se a+ib=c+id com a,b,c,d reais, então a=c e b=d.)

Passo 4

Da primeira equação x^{2}-y^{2}=0 obtemos
x^{2}=y^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm x.
Como x\neq 0, as duas possibilidades y=x e y=-x devem ser testadas na segunda equação.

Passo 5

Caso y=x. Substituindo em 2x y = x+y temos
2x\cdot x = x + x \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=2x.
Dividindo por 2:
x^{2}=x \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0.
Como x\neq 0, segue x=1. Então y=x=1. Assim obtemos a solução (x,y)=(1,1).

Passo 6

Caso y=-x. Substituindo em 2x y = x+y temos
2x(-x)=x+(-x) \quad\Rightarrow\quad -2x^{2}=0.
Isso implica x^{2}=0, logo x=0, mas isso contradiz a condição x\neq 0. Portanto não há solução válida com y=-x.

Passo 7

Concluímos que a única solução real admissível do sistema é x=1 e y=1.

Passo 8

Agora avalio cada alternativa usando a solução (x,y)=(1,1):
  • Alternativa (a): diz que x e y são números irracionais. Como x=1 e y=1 são racionais, (a) é falsa.
  • Alternativa (b): afirma x>0 e y<0. Temos x=1>0 e y=1\not<0, logo (b) é falsa.
  • Alternativa (c): afirma que x é raiz da equação x^{3}+3x^{2}+2x-6=0. Verifico substituindo x=1:
1^{3}+3\cdot1^{2}+2\cdot1-6 = 1+3+2-6 = 0,
portanto x=1 é realmente uma raiz dessa equação, então (c) é verdadeira.
  • Alternativa (d): diz x<0 e y=z (aparentemente sem sentido ou impossível aqui). Como x=1\not<0, (d) é falsa.

Resposta

(c)

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