(ITA -94 ) Sejam x e y números reais, com
, satisfazendo
, então:
a)
são números irracionais.
b)
e
.
c) x é uma raiz da equação
d)
e
a)
b)
c) x é uma raiz da equação
d)
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números reais com
e que satisfazem a igualdade entre números complexos
Pergunta-se, por meio das alternativas fornecidas, quais afirmações sobre
e
são verdadeiras. Informações relevantes:
e
reais,
, e a relação complexa acima.
Passo 2
Primeiro, vou desenvolver o quadrado do número complexo à esquerda. Lembre que, para números reais
e
,
E também que
. Substituindo:
Isso representa um número complexo com parte real
e parte imaginária
.
Passo 3
A igualdade dada é
O lado direito
tem parte real zero e parte imaginária
. Dois números complexos são iguais exatamente quando suas partes reais e imaginárias coincidem. Logo obtemos o sistema de equações reais:
Vou resolver esse sistema. (Explicação breve: igualar partes real e imaginária é válido porque se
com
reais, então
e
.)
Passo 4
Da primeira equação
obtemos
Como
, as duas possibilidades
e
devem ser testadas na segunda equação.
Passo 5
Caso
. Substituindo em
temos
Dividindo por
:
Como
, segue
. Então
. Assim obtemos a solução
.
Passo 6
Caso
. Substituindo em
temos
Isso implica
, logo
, mas isso contradiz a condição
. Portanto não há solução válida com
.
Passo 7
Concluímos que a única solução real admissível do sistema é
e
.
Passo 8
Agora avalio cada alternativa usando a solução
:
-
Alternativa (a): diz que
e são números irracionais. Como e são racionais, (a) é falsa. -
Alternativa (b): afirma
e . Temos e , logo (b) é falsa. -
Alternativa (c): afirma que
é raiz da equação . Verifico substituindo :
portanto
é realmente uma raiz dessa equação, então (c) é verdadeira.
- Alternativa (d): diz
e (aparentemente sem sentido ou impossível aqui). Como , (d) é falsa.
Resposta
(c)