Resolva as Equações Diferenciais de ordem superior
x y^{\prime \prime \prime}=2 (método direto)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de ordem superior
x\,y^{\prime\prime\prime}=2
e pede que a resolvamos pelo método direto. Informação importante: a equação envolve divisão por x, portanto devemos tomar cuidado com x=0. O que se pede é encontrar a solução geral y(x), isto é, todas as funções y que satisfazem essa igualdade em um intervalo onde a equação faz sentido.

Passo 2

Como primeiro passo do método direto, isolamos a derivada de terceira ordem dividindo por x (assumindo x\neq0). Assim
y^{\prime\prime\prime}=\frac{2}{x}.
Agora vamos integrar essa expressão em relação a x para obter y^{\prime\prime}. A antiderivada de \frac{1}{x} é \ln|x| (usamos valor absoluto porque a primitiva de 1/x é válida tanto para x>0 quanto para x<0). Integrando,
y^{\prime\prime}(x)=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|+C_{1},
onde C_{1} é a primeira constante de integração.

Passo 3

Agora integramos y^{\prime\prime}(x) para obter y^{\prime}(x). Precisamos da primitiva de \ln|x|. Uma forma simples de obter \int \ln|x|\,dx é por partes: escolha u=\ln|x| e dv=dx. Então du=\frac{1}{x}dx e v=x, dando
\int \ln|x|\,dx = x\ln|x| - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln|x| - x.
Usando isso,
y^{\prime}(x)=\int \big(2\ln|x|+C_{1}\big)\,dx = 2\big(x\ln|x|-x\big) + C_{1}x + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.

Passo 4

Agora integramos y^{\prime}(x) para obter y(x). Escrevendo y^{\prime} como soma de termos:
y^{\prime}(x)=2x\ln|x|-2x + C_{1}x + C_{2}.
Integramos termo a termo. Precisamos calcular \int x\ln|x|\,dx; novamente usamos integração por partes: escolha u=\ln|x|, dv=x\,dx. Então du=\frac{1}{x}dx, v=\frac{x^{2}}{2}, e
\int x\ln|x|\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln|x| - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln|x| - \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln|x| - \frac{x^{2}}{4}.
Multiplicando por 2 e integrando os outros termos,
\begin{aligned} \int 2x\ln|x|\,dx &= x^{2}\ln|x| - \frac{x^{2}}{2},\\\ \int (-2x)\,dx &= -x^{2},\\\ \int C_{1}x\,dx &= \frac{C_{1}}{2}x^{2},\\\ \int C_{2}\,dx &= C_{2}x. \end{aligned}
Somando e acrescentando a constante final C_{3}, obtemos
y(x)=x^{2}\ln|x| - \frac{x^{2}}{2} - x^{2} + \frac{C_{1}}{2}x^{2} + C_{2}x + C_{3}.

Passo 5

Agora simplificamos os termos em x^{2}. Reunindo os coeficientes,
-\frac{x^{2}}{2}-x^{2} = -\frac{3}{2}x^{2}.
Portanto
y(x)=x^{2}\ln|x| +\left(\frac{C_{1}}{2}-\frac{3}{2}\right)x^{2} + C_{2}x + C_{3}.
Como C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias, podemos renomear \displaystyle A=\frac{C_{1}}{2}-\frac{3}{2}, B=C_{2}, C=C_{3} para uma forma mais compacta:
y(x)=x^{2}\ln|x| + A x^{2} + B x + C,
onde A,B,C são constantes arbitrárias.

Passo 6

Observação sobre domínio: a solução encontrada envolve \ln|x| e foi obtida dividindo por x, então é válida em intervalos onde x\neq0, isto é, separadamente para x>0 e para x<0. Em x=0 a equação original não está definida, então não exigimos nem garantimos uma solução contínua passando por 0.

Resposta

y(x)=x^{2}\ln|x| + A x^{2} + B x + C

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