Resolva as Equações Diferenciais de ordem superior
(método direto)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de ordem superior
e pede que a resolvamos pelo método direto. Informação importante: a equação envolve divisão por
, portanto devemos tomar cuidado com
. O que se pede é encontrar a solução geral
, isto é, todas as funções
que satisfazem essa igualdade em um intervalo onde a equação faz sentido.
Passo 2
Como primeiro passo do método direto, isolamos a derivada de terceira ordem dividindo por
(assumindo
). Assim
Agora vamos integrar essa expressão em relação a
para obter
. A antiderivada de
é
(usamos valor absoluto porque a primitiva de
é válida tanto para
quanto para
). Integrando,
onde
é a primeira constante de integração.
Passo 3
Agora integramos
para obter
. Precisamos da primitiva de
. Uma forma simples de obter
é por partes: escolha
e
. Então
e
, dando
Usando isso,
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 4
Agora integramos
para obter
. Escrevendo
como soma de termos:
Integramos termo a termo. Precisamos calcular
; novamente usamos integração por partes: escolha
,
. Então
,
, e
Multiplicando por
e integrando os outros termos,
Somando e acrescentando a constante final
, obtemos
Passo 5
Agora simplificamos os termos em
. Reunindo os coeficientes,
Portanto
Como
são constantes arbitrárias, podemos renomear
,
,
para uma forma mais compacta:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Observação sobre domínio: a solução encontrada envolve
e foi obtida dividindo por
, então é válida em intervalos onde
, isto é, separadamente para
e para
. Em
a equação original não está definida, então não exigimos nem garantimos uma solução contínua passando por
.