Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\cos \frac{n \pi}{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede: estudar a convergência da sequência \{\cos \frac{n\pi}{3}\}.
Informações dadas: a sequência é formada pelos termos a_n=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) para n\in\mathbb{N} (vamos assumir n=1,2,3,\dots). O objetivo é verificar se essa sequência converge e, se possível, identificar limites de subsequências e pontos de acumulação.

Passo 2

Definição de convergência (rápida e importante): dizemos que uma sequência (a_n) converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |a_n-L|<\varepsilon. Uma propriedade crucial: se (a_n) converge, então todo subsequência também converge para o mesmo limite L. Logo, se conseguirmos encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes, a sequência original não converge. Vou usar essa propriedade para provar divergência, se for o caso.

Passo 3

Propriedade trigonométrica usada: o cosseno é 2\pi-periódico, isto é, \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta para todo \theta. Aplicando isso aqui:
\cos\!\left(\frac{(n+6)\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}+2\pi\right)=\cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right).
Portanto os termos da sequência repetem-se com período 6: o valor de a_n depende apenas do resto da divisão de n por 6.

Passo 4

Vamos calcular os valores de \cos\!\left(\frac{n\pi}{3}\right) para os restos 0,1,2,3,4,5 (isto é, para n\equiv r\pmod 6):
  • Para r=0: \cos\!\left(\frac{0\pi}{3}\right)=\cos 0 = 1.
  • Para r=1: \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}. (ângulo de 60^\circ)
  • Para r=2: \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}. (ângulo de 120^\circ)
  • Para r=3: \cos\!\left(\frac{3\pi}{3}\right)=\cos\pi = -1.
  • Para r=4: \cos\!\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\cos(\pi+\tfrac{\pi}{3})=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}.
  • Para r=5: \cos\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\cos(2\pi-\tfrac{\pi}{3})=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
Cada passo acima usa valores básicos do cosseno no círculo unitário (ângulos 0,\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3},\pi,\dots).

Passo 5

Concluímos que a sequência é periódica de período 6 e os termos repetem o padrão
1,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2},\;-1,\;-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{1}{2},\;1,\dots
ou seja, a_{n+6}=a_n para todo n.

Passo 6

Agora aplico a ideia de subsequências para testar convergência:
  • Considere a subsequência a_{6k}=\cos\!\left(\frac{6k\pi}{3}\right)=\cos(2k\pi)=1 para todo k. Logo a_{6k}\to 1.
  • Considere a subsequência a_{6k+3}=\cos\!\left(\frac{(6k+3)\pi}{3}\right)=\cos(2k\pi+\pi)=\cos\pi=-1 para todo k. Logo a_{6k+3}\to -1.
Temos duas subsequências que convergem para limites diferentes ( 1 e -1). Pela propriedade citada no Passo 2, isso é impossível se a sequência original convergisse. Portanto a sequência \{\cos\frac{n\pi}{3}\} não converge.

Passo 7

Além disso, podemos listar todos os pontos de acumulação (limites de subsequências) olhando o padrão periódico: são exatamente
\left\{1,\;\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2},\;-1\right\}.
De fato, por exemplo a_{6k+1}\to \tfrac{1}{2}, a_{6k+2}\to -\tfrac{1}{2}, a_{6k+4}\to -\tfrac{1}{2}, a_{6k+5}\to \tfrac{1}{2}, etc.

Resposta

A sequência não converge.
É periódica de período 6, com padrão 1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1,-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\dots.
Seus pontos de acumulação são \{1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-1\}.

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