Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência da sequência
.
Informações dadas: a sequência é formada pelos termos para
(vamos assumir
). O objetivo é verificar se essa sequência converge e, se possível, identificar limites de subsequências e pontos de acumulação.
Informações dadas: a sequência é formada pelos termos
Passo 2
Definição de convergência (rápida e importante): dizemos que uma sequência
converge para
se, para todo
, existe
tal que para todo
temos
. Uma propriedade crucial: se
converge, então todo subsequência também converge para o mesmo limite
. Logo, se conseguirmos encontrar duas subsequências que convergem para limites diferentes, a sequência original não converge. Vou usar essa propriedade para provar divergência, se for o caso.
Passo 3
Propriedade trigonométrica usada: o cosseno é
-periódico, isto é,
para todo
. Aplicando isso aqui:
Portanto os termos da sequência repetem-se com período
: o valor de
depende apenas do resto da divisão de
por
.
Passo 4
Vamos calcular os valores de
para os restos
(isto é, para
):
- Para
: - Para
: (ângulo de ) - Para
: (ângulo de ) - Para
: - Para
: - Para
:
Cada passo acima usa valores básicos do cosseno no círculo unitário (ângulos
).
Passo 5
Concluímos que a sequência é periódica de período
e os termos repetem o padrão
ou seja,
para todo
.
Passo 6
Agora aplico a ideia de subsequências para testar convergência:
- Considere a subsequência
para todo . Logo . - Considere a subsequência
para todo . Logo .
Temos duas subsequências que convergem para limites diferentes (
e
). Pela propriedade citada no Passo 2, isso é impossível se a sequência original convergisse. Portanto a sequência
não converge.
Passo 7
Além disso, podemos listar todos os pontos de acumulação (limites de subsequências) olhando o padrão periódico: são exatamente
De fato, por exemplo
,
,
,
, etc.
Resposta
A sequência não converge.
É periódica de período , com padrão
.
Seus pontos de acumulação são .
É periódica de período
Seus pontos de acumulação são