Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\ln \left(e^{n}+2\right)-n\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n=\ln\!\big(e^{n}+2\big)-n
para n inteiro positivo (sequência indexada por n\to\infty) e pede para estudar sua convergência. Ou seja: determinar se a_n converge quando n\to\infty e, se converge, encontrar o limite. Informações relevantes do enunciado: e^{n}>0 para todo n, a função \ln está definida para argumentos positivos, e o termo subtraído é n.

Passo 2

Vamos reescrever a_n de forma que fique fácil analisar o comportamento quando n cresce. Fatore e^{n} dentro do logaritmo:
a_n=\ln\!\big(e^{n}+2\big)-n=\ln\!\big(e^{n}\big(1+2e^{-n}\big)\big)-n.
Agora usamos a propriedade básica do logaritmo: \ln(xy)=\ln x+\ln y. Aplicando-a,
a_n=\ln\!\big(e^{n}\big)+\ln\!\big(1+2e^{-n}\big)-n.
Como \ln\!\big(e^{n}\big)=n (porque \ln e^{n}=n\ln e=n), temos
a_n=n+\ln\!\big(1+2e^{-n}\big)-n=\ln\!\big(1+2e^{-n}\big).
Portanto a sequência fica muito simples:
a_n=\ln\!\big(1+2e^{-n}\big).

Passo 3

Agora analiso o termo dentro do logaritmo: 2e^{-n}. Note que
e^{-n}=\big(e^{-1}\big)^{n},
e como e^{-1} é um número entre 0 e 1 (especificamente e^{-1}\approx0{,}3679), a sequência \big(e^{-1}\big)^{n} tende a 0 quando n\to\infty. Multiplicando por 2 não muda o limite nulo: portanto
\lim_{n\to\infty}2e^{-n}=0.

Passo 4

Queremos passar do limite de 2e^{-n} ao limite de a_n=\ln(1+2e^{-n}). Uma maneira elementar e segura é usar uma desigualdade conhecida: para todo t>-1 vale
\ln(1+t)\le t,
e, além disso, para t\ge0 temos \ln(1+t)\ge0. No nosso caso t=2e^{-n}\ge0, então
0\le \ln\!\big(1+2e^{-n}\big)\le 2e^{-n}.
Como já vimos \lim_{n\to\infty}2e^{-n}=0, o teorema do confronto (squeeze) implica
\lim_{n\to\infty}\ln\!\big(1+2e^{-n}\big)=0.
Assim
\lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 5

(Demonstração alternativa — monotonicidade e limite) Observação útil para a prova: a função x\mapsto\ln(1+x) é crescente para x>-1. Como 2e^{-(n+1)}<2e^{-n} para todo n, temos
a_{n+1}=\ln\!\big(1+2e^{-(n+1)}\big)<\ln\!\big(1+2e^{-n}\big)=a_n,
ou seja, \{a_n\} é estritamente decrescente. Além disso a_n=\ln(1+2e^{-n})>0 para todo n, então a sequência é decrescente e limitada inferiormente por 0; pelo teorema da convergência monotônica ela converge. O limite deve ser um número L\ge0 que satisfaz, tomando limites na expressão a_n=\ln(1+2e^{-n}), necessariamente L=\ln(1+0)=0. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Conclusão final: a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

0

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