Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
inteiro positivo (sequência indexada por
) e pede para estudar sua convergência. Ou seja: determinar se
converge quando
e, se converge, encontrar o limite. Informações relevantes do enunciado:
para todo
, a função
está definida para argumentos positivos, e o termo subtraído é
.
Passo 2
Vamos reescrever
de forma que fique fácil analisar o comportamento quando
cresce. Fatore
dentro do logaritmo:
Agora usamos a propriedade básica do logaritmo:
. Aplicando-a,
Como
(porque
), temos
Portanto a sequência fica muito simples:
Passo 3
Agora analiso o termo dentro do logaritmo:
. Note que
e como
é um número entre
e
(especificamente
), a sequência
tende a
quando
. Multiplicando por
não muda o limite nulo: portanto
Passo 4
Queremos passar do limite de
ao limite de
. Uma maneira elementar e segura é usar uma desigualdade conhecida: para todo
vale
e, além disso, para
temos
. No nosso caso
, então
Como já vimos
, o teorema do confronto (squeeze) implica
Assim
Passo 5
(Demonstração alternativa — monotonicidade e limite) Observação útil para a prova: a função
é crescente para
. Como
para todo
, temos
ou seja,
é estritamente decrescente. Além disso
para todo
, então a sequência é decrescente e limitada inferiormente por
; pelo teorema da convergência monotônica ela converge. O limite deve ser um número
que satisfaz, tomando limites na expressão
, necessariamente
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Conclusão final: a sequência converge e seu limite é
.