Encontre as derivadas das seguintes funções:
(Valor 1) f(x)=\ln \frac{\cos x}{1+x^{2}}\,,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \,f(x)=\ln\frac{\cos x}{1+x^{2}}\,.\n
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é \,f(x)=\ln\frac{\cos x}{1+x^{2}}\,.\n
  • Para que a expressão dentro do logaritmo esteja bem definida precisamos de \,\frac{\cos x}{1+x^{2}}>0\,. Como \,1+x^{2}>0\, para todo x, isso equivale a exigir \,\cos x>0\, (ou seja, x está em intervalos onde o cosseno é positivo).\n
  • A pergunta concreta: encontrar \,f'(x)\, (a derivada de f em termos de x).\n

Passo 2

Vamos simplificar a função usando uma propriedade básica dos logaritmos: \,\ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B\, (válida se A>0 e B>0). Aplicando aqui:
f(x)=\ln(\cos x)-\ln(1+x^{2}).
Explicação rápida da propriedade: o logaritmo transforma divisões em diferenças, o que muitas vezes deixa a diferenciação mais direta porque podemos derivar termo a termo.

Passo 3

Apresento agora a regra de derivação que vamos usar: se \,g(x)=\ln(u(x))\, com u(x) diferenciável e u(x)>0, então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto é consequência da regra da cadeia: a derivada de \ln t em relação a t é \,1/t\,, e por isso ao derivar \ln(u(x)) multiplicamos por u'(x). Aqui u(x) é a função interna cujo significado depende do caso (por exemplo, u(x)=\cos x ou u(x)=1+x^{2}).

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo à expressão obtida em

Passo 5

Primeiro termo: \,\ln(\cos x).\n
Tomamos u(x)=\cos x. Então u'(x)=(\cos x)'=-\sin x. Pela regra do logaritmo,
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Aqui usei a definição \,\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.

Passo 6

Segundo termo: \,\ln(1+x^{2}).\n
Tomamos v(x)=1+x^{2}. Então v'(x)=(1+x^{2})'=2x. Pela regra do logaritmo,
\frac{d}{dx}\ln(1+x^{2})=\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 7

Agora juntamos os resultados porque \,f(x)=\ln(\cos x)-\ln(1+x^{2}), então
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(\cos x)-\frac{d}{dx}\ln(1+x^{2})=-\tan x-\frac{2x}{1+x^{2}}.
Podemos deixar a resposta nessa forma somada (muito clara e prática para prova). Se quiser, dá para escrever como uma única fração:
f'(x)=-\frac{\sin x\,(1+x^{2})+2x\cos x}{\cos x\,(1+x^{2})},
obtida multiplicando por denominadores comuns, mas a forma com soma de termos é geralmente mais legível.

Resposta

\,f'(x)=-\tan x-\dfrac{2x}{1+x^{2}}\,

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