Encontre as derivadas das seguintes funções:
(Valor 1)
,
(Valor 1)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.\n
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- A função é
.\n - Para que a expressão dentro do logaritmo esteja bem definida precisamos de
. Como para todo , isso equivale a exigir (ou seja, está em intervalos onde o cosseno é positivo).\n - A pergunta concreta: encontrar
(a derivada de em termos de ).\n
Passo 2
Vamos simplificar a função usando uma propriedade básica dos logaritmos:
(válida se
e
). Aplicando aqui:
Explicação rápida da propriedade: o logaritmo transforma divisões em diferenças, o que muitas vezes deixa a diferenciação mais direta porque podemos derivar termo a termo.
Passo 3
Apresento agora a regra de derivação que vamos usar: se
com
diferenciável e
, então
Isto é consequência da regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e por isso ao derivar
multiplicamos por
. Aqui
é a função interna cujo significado depende do caso (por exemplo,
ou
).
Passo 4
Aplicando a regra termo a termo à expressão obtida em
Passo 5
Primeiro termo:
.\n
Tomamos . Então
. Pela regra do logaritmo,
Tomamos
Aqui usei a definição
.
Passo 6
Segundo termo:
.\n
Tomamos . Então
. Pela regra do logaritmo,
Tomamos
Passo 7
Agora juntamos os resultados porque
, então
Podemos deixar a resposta nessa forma somada (muito clara e prática para prova). Se quiser, dá para escrever como uma única fração:
obtida multiplicando por denominadores comuns, mas a forma com soma de termos é geralmente mais legível.