Estude a convergência das séries a seguir:
c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n}

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}.
O conteúdo envolvido é o teste da integral para séries de termos positivos (poderíamos também usar teste de comparação).

Passo 2

Defina a função
f(x)=\frac{\log x}{x},
que é contínua e positiva para x\ge1. Calculando a derivada,
f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2},
vemos que f'(x)\le0 sempre que x\ge e. Logo f é decrescente em [e,\infty), e podemos aplicar o teste da integral à série a partir de n=1.

Passo 3

Compute-se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx.
Usando a primitiva
\int\frac{\log x}{x}\,dx=\frac{(\log x)^2}{2},
temos
\int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\frac{(\log t)^2}{2}-\frac{(\log 1)^2}{2} =\infty.
Como a integral diverge, pelo teste da integral a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n} diverge.

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