Seja a_{n} \leq 0 e b_{n} \leq 0. Prove que as se séries \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \mathrm{e} \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2} são convergentes, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} também é convergente.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas sequências (a_{n}) e (b_{n}) tais que para todo n vale
Assim os somatórios parciais são uma sequência monótona limitada, logo convergente.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} converge, por aplicação da desigualdade de Cauchy–Schwarz e pelo fato de ter termos não negativos e estar limitada por \sqrt{A}\,\sqrt{B}.