Seja a_{n} \leq 0 e b_{n} \leq 0. Prove que as se séries \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \mathrm{e} \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2} são convergentes, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} também é convergente.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências (a_{n}) e (b_{n}) tais que para todo n vale
a_{n}\le 0,\qquad b_{n}\le 0
e que as séries
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}
são convergentes. Queremos mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}
também converge. O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade de Cauchy–Schwarz para sums finitas.

Passo 2

Como a_{n}\le 0 e b_{n}\le 0, cada termo do produto satisfaz
a_{n}b_{n}\ge 0.
Logo os termos da série \sum a_{n}b_{n} são não negativos, e os somatórios parciais são uma sequência monótona não decrescente.

Passo 3

Para cada N\in\mathbb{N}, aplique a desigualdade de Cauchy–Schwarz às somas parciais:
\sum_{n=1}^{N}a_{n}b_{n} \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}} \;\times\; \sqrt{\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}} \;\le\; \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}} \;\times\; \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}}\,.
O primeiro “ \le” é a própria desigualdade de Cauchy–Schwarz, e o segundo decorre da convergência das séries de quadrados.

Passo 4

Chamando
A=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} \quad\text{e}\quad B=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2},
vemos que para todo N
0 \;\le\; \sum_{n=1}^{N}a_{n}b_{n} \;\le\; \sqrt{A}\,\sqrt{B}<\infty.
Assim os somatórios parciais são uma sequência monótona limitada, logo convergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} converge, por aplicação da desigualdade de Cauchy–Schwarz e pelo fato de ter termos não negativos e estar limitada por \sqrt{A}\,\sqrt{B}.

Exercícios relacionados