Estude a convergência das séries a seguir:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos usar o Teste da Integral. Note que em
o termo fica indefinido, então consideramos a soma a partir de
.
Passo 2
Definimos a função contínua, positiva e decrescente para
:
Pelas condições do Teste da Integral, a série
converge ou diverge junto com a integral imprópria
Passo 3
Para avaliar
faremos a substituição
. Então
e
. Quando
,
; quando
,
. Assim a integral vira
Passo 4
Observe que para
grande temos
que cresce e não tende a zero. Em particular, comparando com qualquer função que explode (por exemplo
para
suficientemente grande), concluímos
Logo a integral imprópria diverge.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como
a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.