Estude a convergência das séries a seguir:
d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\log n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\log n}.
O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos usar o Teste da Integral. Note que em n=1 o termo fica indefinido, então consideramos a soma a partir de n=2.

Passo 2

Definimos a função contínua, positiva e decrescente para x\ge3:
f(x) = \frac{1}{\log x}.
Pelas condições do Teste da Integral, a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\log n}
converge ou diverge junto com a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx.

Passo 3

Para avaliar
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx,
faremos a substituição t = \log x. Então dt = \frac{1}{x}\,dx e dx = e^{t}\,dt. Quando x=2, t=\log 2; quando x\to\infty, t\to\infty. Assim a integral vira
\int_{\log 2}^{\infty} \frac{1}{t}\,e^{t}\,dt.

Passo 4

Observe que para t grande temos e^{t}/t que cresce e não tende a zero. Em particular, comparando com qualquer função que explode (por exemplo e^{t}/t > 1 para t suficientemente grande), concluímos
\int_{\log 2}^{\infty} \frac{e^{t}}{t}\,dt = +\infty.
Logo a integral imprópria diverge.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx = +\infty,
a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\log n}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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