Use a parte I do TFC para encontrar a derivada da função.
y=integral0^x^4 cos ^2(theta) d theta

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada em relação a . Para isso, vamos usar a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que nos ajuda a derivar integrais definidas onde o limite superior é uma função de .

Passo 2

A Parte I do TFC nos diz que se temos uma função definida por uma integral onde o limite superior é uma função de dydx = f(g(x)) cdot g'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que primeiro substituímos na função e depois multiplicamos pela derivada de .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, identificamos que:
f(theta) = cos^2(theta) e g(x) = x^4
Primeiro, substituímos f(g(x)) = cos^2(x^4) por :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de g'(x) = ddx(x^4) = 4x^3 em relação a :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a regra do TFC Parte I multiplicando dydx = cos^2(x^4) cdot 4x^3 por :

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 4x^3 cos^2(x^4)

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