Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de K elevados e pequenos utilizando o LGR.
G(s)=K \frac{s}{s^{2}-2 s+2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de laço aberto
G(s)=K\,\frac{s}{s^{2}-2s+2}
e pede: estudar a estabilidade do sistema para valores de K pequenos e para valores de K elevados, utilizando o Lugar Geométrico das Raízes (LGR).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função em malha aberta é G(s)=K\frac{s}{s^{2}-2s+2}.
  • Não foi explicitado o tipo de realimentação; adota-se a configuração padrão: realimentação unitária negativa, cujo polinômio característico é 1+G(s)=0.
  • Pergunta-se sobre estabilidade do sistema em malha fechada conforme K varia (pequenos e grandes).

Passo 2

Identificar polos e zeros do laço aberto (dados diretamente pela forma de G(s)).
  • O numerador s indica um zero em s=0. Ou seja, existe um zero finito em \,s=0.
  • O denominador s^{2}-2s+2 tem raízes
s=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=1\pm j1,
logo há dois polos em s=1\pm j1. Observe que esses polos têm parte real positiva (estão no semiplano direito).
Anotação importante (para aplicar o LGR): número de polos finitos p=2 e número de zeros finitos z=1. O LGR terá p=2 ramos.

Passo 3

Breve aula sobre o que é o LGR e regras úteis (sem pular etapas).
  • O Lugar Geométrico das Raízes (LGR) mostra como as raízes do polinômio característico em malha fechada se deslocam no plano s quando o ganho K varia de 0 a +\infty.
  • Para sistema em realimentação unitária negativa, o polinômio característico é
1+G(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1+K\frac{s}{s^{2}-2s+2}=0.
  • Regras básicas do LGR que usaremos:
    1. Os ramos do LGR começam nos polos do laço aberto (quando K=0) e terminam nos zeros finitos ou em infinito (quando K\to\infty).
    2. Número de ramos igual ao número de polos p.
    3. Segmentos do eixo real pertencem ao LGR quando o número de polos e zeros à direita do ponto (no eixo real) for ímpar.
    4. Assíntotas para os ramos que vão para infinito: há p-z assíntotas, com centro (centroide)
    \sigma_a=\frac{\sum \text{pólos} - \sum \text{zeros}}{p-z}óe direções dadas por ângulos \theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{p-z},\quad k=0,1,\dots,p-z-1.
    1. Cruzamento do eixo imaginário (estabilidade marginal) ocorre quando alguma raiz tem parte real zero; isso pode ser buscado impondo s=j\omega na equação característica e separando partes real e imaginária.

Passo 4

Aplicar as regras do LGR ao sistema (detalhadamente).
  • Polos abertos: s_{p1}=1+j1,\; s_{p2}=1-j1 (pontos de partida do LGR para K=0).
  • Zero finito: s_z=0 (um dos pontos finais quando K\to\infty).
  • Como p=2 e z=1, há p-z=1 assíntota (um ramo vai para infinito).
  • Calcular o centroide das assíntotas:
\sigma_a=\frac{(1+j1)+(1-j1)-0}{1}=\frac{2}{1}=2.
Portanto a assíntota parte do ponto real \,2 e tem ângulo
\theta=\frac{(2\cdot0+1)\pi}{1}=\pi,
ou seja, é um rumo para a esquerda (ângulo 180^\circ), saindo de \,2 em direção a -\infty ao longo do eixo real.
  • Segmentos do eixo real pertencentes ao LGR: o único zero finito real é em s=0. Pela regra dos pontos do eixo real, todo ponto \,s à esquerda de 0 pertence ao LGR (há exatamente um zero/pólo à direita), enquanto pontos à direita de 0 não pertencem. Isso indica que existe um ramo do LGR que atravessa/ocupa o eixo real à esquerda de 0 enquanto K cresce.
Interpretação qualitativa do LGR:
  • Para K=0 as raízes fechadas são os polos abertos 1\pm j1 (ambos no semiplano direito → sistema aberto instável).
  • Ao aumentar K, os dois pólos se deslocam no plano: como há um zero em 0, espera-se que um ramo termine em s=0 e o outro ramo vá para -\infty seguindo a assíntota que parte de \,2 em direção a -\infty.
  • Portanto, à medida que K aumenta suficientemente, os ramos podem deslocar-se para a esquerda do eixo imaginário e tornar o sistema estável. Precisamos saber exatamente quando isso ocorre (valor crítico de K).

Passo 5

Formar explicitamente o polinômio característico e resolver analiticamente (aqui a análise é direta porque o polinômio é de 2º grau).
  • A equação característica (para realimentação unitária negativa) é
1+K\frac{s}{s^{2}-2s+2}=0.
Multiplicando por s^{2}-2s+2 obtemos
s^{2}-2s+2+K s=0.
Reagrupando,
s^{2}+(K-2)s+2=0.
Este polinômio de 2º grau dá diretamente as raízes em malha fechada:
s=\frac{-(K-2)\pm\sqrt{(K-2)^{2}-8}}{2}.

Passo 6

Determinar condição de estabilidade via critérios e interpretar com o LGR.
  • Para um polinômio quadrático \,s^{2}+a_1 s + a_0, as raízes têm parte real negativa (sistema estável) se e somente se a_1>0 e a_0>0 (condição equivalente ao critério de Routh para 2º grau).
  • Aqui a_1=K-2 e a_0=2. Como a_0=2>0 sempre, a condição relevante é
K-2>0 \quad\Longrightarrow\quad K>2.
  • Conclusão imediata: para K>2 ambos os coeficientes positivos → ambos os pólos em malha fechada têm parte real negativa → sistema assintoticamente estável. Para K<2 tem a_1<0 → soma das raízes (que é -(a_1)) é negativa? melhor: a parte real de cada raiz é -(K-2)/2=(2-K)/2>0 → ambos os polos têm parte real positiva (ou seja, sistema instável).
  • Caso K=2: o polinômio fica s^{2}+0\cdot s+2=0 com raízes s=\pm j\sqrt{2}. Isso é marginalmente estável (raízes puramente imaginárias) e corresponde a oscilação sustentada. No LGR, isso corresponde ao ponto em que os ramos cruzam o eixo imaginário.

Passo 7

Verificação do cruzamento no eixo imaginário usando s=j\omega (procedimento típico no LGR para achar ganho crítico).
  • Substituindo s=j\omega na equação característica s^{2}+(K-2)s+2=0 obtemos
-(\omega^{2}) + j (K-2)\omega + 2 =0.
Separando parte real e imaginária:
\text{Real: } -\omega^{2}+2=0 \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{2}.
\text{Imaginária: } (K-2)\omega=0 \quad\Rightarrow\quad K-2=0 \quad\Rightarrow\quad K=2.á
Isso confirma que o cruzamento do eixo imaginário ocorre apenas em K=2, com frequência de oscilação \omega=\sqrt{2}. Este é o ganho crítico que separa instabilidade de estabilidade no LGR.

Passo 8

Comportamento para K pequenos e para K grandes — interpretação final e exemplos numéricos.
  • Para K=0 (pequeno), as raízes em malha fechada são exatamente os polos abertos s=1\pm j1 — ambos no semiplano direito → sistema instável.
  • Para 0<K<2 (valores pequenos até o crítico) as raízes permanecem com parte real positiva (conforme expressão do coeficiente linear): sistema ainda instável. Exemplo: K=1 → raízes s=\dfrac{-(1-2)\pm\sqrt{(1-2)^2-8}}{2}=\dfrac{1\pm j\sqrt{7}}{2} com parte real 0,5>0.
  • Em K=2 ocorre estabilidade marginal: raízes s=\pm j\sqrt{2} (oscilação sustentada).
  • Para K>2 (valores grandes), ambos os polos fechados têm parte real negativa → sistema assintoticamente estável. Para K muito grande as raízes aproximam-se de:
    • Uma raiz aproximadamente em s\approx - (K-2) (grande e negativa),
    • Outra raiz aproximadamente em s\approx -\dfrac{2}{K-2} (pequena e negativa, tendendo a 0^{-} quando K\to\infty).
      Isto é consistente com o LGR: um ramo vai para o zero finito em s=0 e o outro vai para -\infty ao longo da assíntota que parte de \,2.

Resposta

Para K<2: instável
Para K=2: marginalmente estável (oscilações com \omega=\sqrt{2})
Para K>2: assintoticamente estável

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