Estude a estabilidade dos sistemas abaixo para valores de
elevados e pequenos utilizando o LGR.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de laço aberto
e pede: estudar a estabilidade do sistema para valores de
pequenos e para valores de
elevados, utilizando o Lugar Geométrico das Raízes (LGR).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função em malha aberta é
. - Não foi explicitado o tipo de realimentação; adota-se a configuração padrão: realimentação unitária negativa, cujo polinômio característico é
. - Pergunta-se sobre estabilidade do sistema em malha fechada conforme
varia (pequenos e grandes).
Passo 2
Identificar polos e zeros do laço aberto (dados diretamente pela forma de
).
- O numerador
indica um zero em . Ou seja, existe um zero finito em . - O denominador
tem raízes
logo há dois polos em
. Observe que esses polos têm parte real positiva (estão no semiplano direito).
Anotação importante (para aplicar o LGR): número de polos finitos
e número de zeros finitos
. O LGR terá
ramos.
Passo 3
Breve aula sobre o que é o LGR e regras úteis (sem pular etapas).
- O Lugar Geométrico das Raízes (LGR) mostra como as raízes do polinômio característico em malha fechada se deslocam no plano
quando o ganho varia de a . - Para sistema em realimentação unitária negativa, o polinômio característico é
- Regras básicas do LGR que usaremos:
- Os ramos do LGR começam nos polos do laço aberto (quando
) e terminam nos zeros finitos ou em infinito (quando ). - Número de ramos igual ao número de polos
. - Segmentos do eixo real pertencem ao LGR quando o número de polos e zeros à direita do ponto (no eixo real) for ímpar.
- Assíntotas para os ramos que vão para infinito: há
assíntotas, com centro (centroide)
e direções dadas por ângulos - Cruzamento do eixo imaginário (estabilidade marginal) ocorre quando alguma raiz tem parte real zero; isso pode ser buscado impondo
na equação característica e separando partes real e imaginária.
- Os ramos do LGR começam nos polos do laço aberto (quando
Passo 4
Aplicar as regras do LGR ao sistema (detalhadamente).
- Polos abertos:
(pontos de partida do LGR para ). - Zero finito:
(um dos pontos finais quando ). - Como
e , há assíntota (um ramo vai para infinito). - Calcular o centroide das assíntotas:
Portanto a assíntota parte do ponto real
e tem ângulo
ou seja, é um rumo para a esquerda (ângulo
), saindo de
em direção a
ao longo do eixo real.
- Segmentos do eixo real pertencentes ao LGR: o único zero finito real é em
. Pela regra dos pontos do eixo real, todo ponto à esquerda de pertence ao LGR (há exatamente um zero/pólo à direita), enquanto pontos à direita de não pertencem. Isso indica que existe um ramo do LGR que atravessa/ocupa o eixo real à esquerda de enquanto cresce.
Interpretação qualitativa do LGR:
- Para
as raízes fechadas são os polos abertos (ambos no semiplano direito → sistema aberto instável). - Ao aumentar
, os dois pólos se deslocam no plano: como há um zero em , espera-se que um ramo termine em e o outro ramo vá para seguindo a assíntota que parte de em direção a . - Portanto, à medida que
aumenta suficientemente, os ramos podem deslocar-se para a esquerda do eixo imaginário e tornar o sistema estável. Precisamos saber exatamente quando isso ocorre (valor crítico de ).
Passo 5
Formar explicitamente o polinômio característico e resolver analiticamente (aqui a análise é direta porque o polinômio é de 2º grau).
- A equação característica (para realimentação unitária negativa) é
Multiplicando por
obtemos
Reagrupando,
Este polinômio de 2º grau dá diretamente as raízes em malha fechada:
Passo 6
Determinar condição de estabilidade via critérios e interpretar com o LGR.
- Para um polinômio quadrático
, as raízes têm parte real negativa (sistema estável) se e somente se e (condição equivalente ao critério de Routh para 2º grau). - Aqui
e . Como sempre, a condição relevante é
- Conclusão imediata: para
ambos os coeficientes positivos → ambos os pólos em malha fechada têm parte real negativa → sistema assintoticamente estável. Para tem → soma das raízes (que é ) é negativa? melhor: a parte real de cada raiz é → ambos os polos têm parte real positiva (ou seja, sistema instável). - Caso
: o polinômio fica com raízes . Isso é marginalmente estável (raízes puramente imaginárias) e corresponde a oscilação sustentada. No LGR, isso corresponde ao ponto em que os ramos cruzam o eixo imaginário.
Passo 7
Verificação do cruzamento no eixo imaginário usando
(procedimento típico no LGR para achar ganho crítico).
- Substituindo
na equação característica obtemos
Separando parte real e imaginária:
Isso confirma que o cruzamento do eixo imaginário ocorre apenas em
, com frequência de oscilação
. Este é o ganho crítico que separa instabilidade de estabilidade no LGR.
Passo 8
Comportamento para
pequenos e para
grandes — interpretação final e exemplos numéricos.
- Para
(pequeno), as raízes em malha fechada são exatamente os polos abertos — ambos no semiplano direito → sistema instável. - Para
(valores pequenos até o crítico) as raízes permanecem com parte real positiva (conforme expressão do coeficiente linear): sistema ainda instável. Exemplo: → raízes com parte real . - Em
ocorre estabilidade marginal: raízes (oscilação sustentada). - Para
(valores grandes), ambos os polos fechados têm parte real negativa → sistema assintoticamente estável. Para muito grande as raízes aproximam-se de: - Uma raiz aproximadamente em
(grande e negativa), - Outra raiz aproximadamente em
(pequena e negativa, tendendo a quando ).
Isto é consistente com o LGR: um ramo vai para o zero finito eme o outro vai para ao longo da assíntota que parte de .
- Uma raiz aproximadamente em
Resposta
Para
: instável
Para : marginalmente estável (oscilações com
)
Para : assintoticamente estável
Para
Para