Estude a existência do limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}.
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos usar o método dos caminhos de aproximação para verificar se o valor é único ou depende do caminho escolhido.

Passo 2

Analisando o caminho x=0:
quando x=0 temos
\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} =\frac{0\cdot y}{0+y^{2}} =0.
Logo, ao longo do eixo x=0, o limite vale 0.

Passo 3

Agora considere o caminho dado por y = m\,x^{2}, com m\in\mathbb{R}. Substituindo:
\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} =\frac{x^{2}\,(m\,x^{2})}{x^{4}+(m\,x^{2})^{2}} =\frac{m\,x^{4}}{x^{4}+m^{2}x^{4}} =\frac{m\,x^{4}}{x^{4}(1+m^{2})} =\frac{m}{1+m^{2}}.
Como não depende de x, ao aproximar (x,y)\to(0,0) por essa curva o valor do limite é
\frac{m}{1+m^{2}},
que varia com m.

Passo 4

Vimos que por x=0 o limite é 0, mas por y=m\,x^{2} o valor é \tfrac{m}{1+m^{2}}, que depende de m. Como diferentes caminhos dão valores diferentes, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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