O enunciado nos dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por
\[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para estudar a continuidade em (0,0)\]. Precisamos verificar se \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).
Passo 2
Observamos que, para (x,y)\neq(0,0), f é razão de polinômios cujo denominador não se anula, logo é contínua fora da origem. Resta analisar (0,0). Devemos calcular
L = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}
e comparar com f(0,0)=0.
Passo 3
Usamos uma estimativa de valor absoluto para (x,y)\neq(0,0):