Considere
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
Estude a continuidade de f em ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para estudar a continuidade em (0,0)\]. Precisamos verificar se \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).

Passo 2

Observamos que, para (x,y)\neq(0,0), f é razão de polinômios cujo denominador não se anula, logo é contínua fora da origem. Resta analisar (0,0). Devemos calcular
L = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}
e comparar com f(0,0)=0.

Passo 3

Usamos uma estimativa de valor absoluto para (x,y)\neq(0,0):
\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right| = \frac{|x|^3}{x^2+y^2} \le \frac{|x|^3}{x^2} = |x|.

Passo 4

Como |x|\le \sqrt{x^2+y^2}, obtemos
\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|\le \sqrt{x^2+y^2}.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon. Então, se \sqrt{x^2+y^2}<\delta temos
\bigl|f(x,y)-0\bigr| =\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right| \le \sqrt{x^2+y^2}<\varepsilon,
o que prova que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 5

Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em (0,0).

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