Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a concavidade de
e encontrar pontos de inflexão de
Para isso vamos calcular as derivadas primeira e segunda de
, achar onde
e analisar o sinal de
em cada intervalo.
Passo 2
Vamos obter a derivada primeira de
:
Passo 3
Agora calculamos a derivada segunda:
Passo 4
Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos
:
Em seguida analisamos o sinal de
:
- Se
, então e : a curva é côncava para baixo. - Se
, então e : a curva é côncava para cima.
Como o sinal demuda em , aí ocorre um ponto de inflexão.
Passo 5
Para obter a coordenada
do ponto de inflexão, avaliamos
em
:
Logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.
Há um ponto de inflexão em .
Há um ponto de inflexão em