Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+3 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade de f e encontrar pontos de inflexão de
f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x.
Para isso vamos calcular as derivadas primeira e segunda de f, achar onde f''(x)=0 e analisar o sinal de f'' em cada intervalo.

Passo 2

Vamos obter a derivada primeira de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+3x\bigr) =3x^{2}-6x+3.

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x+3\bigr) =6x-6 =6(x-1).

Passo 4

Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
6(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Em seguida analisamos o sinal de f''(x):
  • Se x<1, então x-1<0 e f''(x)<0: a curva é côncava para baixo.
  • Se x>1, então x-1>0 e f''(x)>0: a curva é côncava para cima.
    Como o sinal de f'' muda em x=1, aí ocorre um ponto de inflexão.

Passo 5

Para obter a coordenada y do ponto de inflexão, avaliamos f em x=1:
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+3\cdot1=1-3+3=1.
Logo o ponto de inflexão é (1,1).

Resposta

A função é côncava para baixo em (-\infty,1) e côncava para cima em (1,\infty).
Há um ponto de inflexão em (1,1).

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