Suponha que
seja derivável até a
ordem em
e tal que para todo
a) Prove que, se
for ponto de máximo local, então
.
b) Prove que, se
for ponto de mínimo local, então
.
c) Prove que
para todo
.
(Sugestão: Observe que
.)
b) Prove que, se
c) Prove que
(Sugestão: Observe que
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma função
, duas vezes diferenciável, que satisfaz
para todo
. Vamos usar essa equação para (i) expressar
, (ii) caracterizar pontos críticos e (iii) estudar o sinal de
.
Passo 2
Isolando
na equação dada, obtemos
válido para
. Em particular, um ponto
é crítico (isto é,
) se, e somente se,
Passo 3
(a) Suponha que
seja ponto de máximo local e, por absurdo,
. Então existe um intervalo
em que, para
, temos
Como
, isso dá
Isto significa que
está crescendo à direita de
, o que contradiz o fato de
ser ponto de máximo. Logo não pode ocorrer
. Concluímos que, se
for máximo local distinto de zero, então
.
Passo 4
(b) Suponha que
seja ponto de mínimo local e, por absurdo,
. Então existe um intervalo
em que, para
, temos
Agora
, logo
Isso diz que
está crescendo à esquerda de
, mas num mínimo local ela deveria estar decrescendo ao se aproximar por valores menores. Contradição. Portanto, se
for mínimo local distinto de zero, deve ser
.
Passo 5
(c) Vamos mostrar que
para todo
.
- Para
, suponha, por absurdo, que exista com . Pelo Teorema de Weierstrass, atinge seu valor mínimo em algum . Se , temos (da própria equação com ). Se , então é mínimo local em , logo e assim , contradizendo . Logo em não há ponto onde . - Para
, semelhante: se houvesse com , então em teria mínimo em . Caso , . Caso , seria mínimo local em , força . Contradição. - Em
, da equação original com segue .
Portantopara todo .
Resposta
(a) Se
é ponto de máximo local, então
.
(b) Se é ponto de mínimo local, então
.
(c) para todo
.
(b) Se
(c)