Suponha que f seja derivável até a 2 .^{\mathrm{a}} ordem em \mathbb{R} e tal que para todo x
x f^{\prime}(x)+f(x)=2
a) Prove que, se x_{0} for ponto de máximo local, então x_{0}<0.
b) Prove que, se x_{0} for ponto de mínimo local, então x_{0}>0.
c) Prove que f(x)>0 para todo x.
(Sugestão: Observe que f(0)=2.)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, duas vezes diferenciável, que satisfaz
x\,f'(x)+f(x)=2
para todo x. Vamos usar essa equação para (i) expressar f'(x), (ii) caracterizar pontos críticos e (iii) estudar o sinal de f.

Passo 2

Isolando f'(x) na equação dada, obtemos
x\,f'(x)+f(x)=2 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{2-f(x)}{x},
válido para x\neq0. Em particular, um ponto x_0\neq0 é crítico (isto é, f'(x_0)=0) se, e somente se,
f'(x_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2-f(x_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(x_0)=2.

Passo 3

(a) Suponha que x_0 seja ponto de máximo local e, por absurdo, x_0>0. Então existe um intervalo (x_0,\;x_0+\delta) em que, para x>x_0, temos
f(x)<f(x_0)\;=\;2.
Como x>0, isso dá
2-f(x)>0 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{2-f(x)}{x}>0 \quad\text{para }x\in(x_0,\;x_0+\delta).
Isto significa que f está crescendo à direita de x_0, o que contradiz o fato de x_0 ser ponto de máximo. Logo não pode ocorrer x_0>0. Concluímos que, se x_0 for máximo local distinto de zero, então x_0<0.

Passo 4

(b) Suponha que x_0 seja ponto de mínimo local e, por absurdo, x_0<0. Então existe um intervalo (x_0-\delta,\;x_0) em que, para x<x_0, temos
f(x)>f(x_0)\;=\;2.
Agora x<0, logo
2-f(x)<0 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{2-f(x)}{x}>0 \quad\text{para }x\in(x_0-\delta,\;x_0).
Isso diz que f está crescendo à esquerda de x_0, mas num mínimo local ela deveria estar decrescendo ao se aproximar por valores menores. Contradição. Portanto, se x_0 for mínimo local distinto de zero, deve ser x_0>0.

Passo 5

(c) Vamos mostrar que f(x)>0 para todo x.
  1. Para x>0, suponha, por absurdo, que exista a>0 com f(a)\le0. Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge seu valor mínimo em algum m\in[0,a]. Se m=0, temos f(0)=2>0 (da própria equação com x=0). Se m>0, então m é mínimo local em (0,\infty), logo f'(m)=0 e assim f(m)=2>0, contradizendo f(m)\le0. Logo em (0,\infty) não há ponto onde f\le0.
  2. Para x<0, semelhante: se houvesse a<0 com f(a)\le0, então em [a,0] f teria mínimo em m. Caso m=0, f(0)=2>0. Caso m<0, m seria mínimo local em (-\infty,0), força f(m)=2>0. Contradição.
  3. Em x=0, da equação original com x=0 segue f(0)=2>0.
    Portanto f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Se x_{0} é ponto de máximo local, então x_{0}<0.
(b) Se x_{0} é ponto de mínimo local, então x_{0}>0.
(c) f(x)>0 para todo x.

Exercícios relacionados