H. 167 (EPUSP-67) Dada a função y=x^{3}+x^{2}+4 x, calcular a derivada de sua função inversa no ponto \mathrm{y}_{0}=6.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^{3} + x^{2} + 4x
e pede a derivada de sua inversa no ponto y_{0}=6.
O conteúdo necessário é a fórmula da derivada de uma função inversa: se y=f(x) é invertível e diferenciável, então
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y_{0}) = \frac{1}{f'(x_{0})},
onde x_{0} satisfaz f(x_{0})=y_{0}.

Passo 2

Encontrar x_{0} tal que
f(x_{0}) = x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + 4x_{0} = 6.
Testando raízes inteiras, para x_{0}=1 temos
1^{3} + 1^{2} + 4\cdot1 = 1 + 1 + 4 = 6,
logo x_{0}=1.

Passo 3

Calcular a derivada de f:
f'(x) = 3x^{2} + 2x + 4.

Passo 4

Avaliar f' em x_{0}=1:
f'(1) = 3\cdot1^{2} + 2\cdot1 + 4 = 3 + 2 + 4 = 9.

Passo 5

Aplicar a fórmula da derivada da inversa:
\bigl(f^{-1}\bigr)'(6) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \bigl(f^{-1}\bigr)'(6) = \frac{1}{9}.

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