Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento da função \displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+1.
Informações dadas: a expressão analítica de f para todo x\in\mathbb{R}. Não há outras restrições. O que você precisa entregar são os intervalos (no eixo x) onde f cresce e onde f decresce.

Passo 2

O conceito que vamos usar: uma função é crescente num intervalo quando, ao aumentarmos x, o valor de f(x) também aumenta; é decrescente quando f(x) diminui ao aumentar x. Uma ferramenta prática para testar crescimento/decrescimento é a derivada: se \displaystyle f'(x)>0 em um intervalo então f é crescente ali; se \displaystyle f'(x)<0 então f é decrescente ali. Vou calcular a derivada de f.
Calculemos a derivada termo a termo: a derivada de \displaystyle x^{3} é \displaystyle 3x^{2}; a derivada de \displaystyle -3x^{2} é \displaystyle -6x; a derivada de \displaystyle 1 é \displaystyle 0. Portanto,
f'(x)=3x^{2}-6x.

Passo 3

Simplificamos a derivada por fator comum para facilitar resolver f'(x)=0. Colocando fator \displaystyle 3x em evidência:
f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
Para encontrar pontos críticos (onde a monotonicidade pode mudar) resolvemos \displaystyle f'(x)=0:
3x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são os pontos que dividem a reta real em intervalos onde o sinal de f' é constante: (-\infty,0), (0,2) e (2,\infty).

Passo 4

Agora determinamos o sinal de \displaystyle f'(x)=3x(x-2) em cada intervalo, testando um ponto simples em cada um.
  • Para o intervalo (-\infty,0), escolha x=-1. Então \displaystyle f'(-1)=3\cdot(-1)\cdot(-1-2)=3\cdot(-1)\cdot(-3)=+9>0. Logo \displaystyle f'(x)>0 em (-\infty,0).
  • Para o intervalo (0,2), escolha x=1. Então \displaystyle f'(1)=3\cdot1\cdot(1-2)=3\cdot1\cdot(-1)=-3<0. Logo \displaystyle f'(x)<0 em (0,2).
  • Para o intervalo (2,\infty), escolha x=3. Então \displaystyle f'(3)=3\cdot3\cdot(3-2)=3\cdot3\cdot1=9>0. Logo \displaystyle f'(x)>0 em (2,\infty).
Explicando a lógica: o fator 3 é sempre positivo, então o sinal de f'(x) é o mesmo do produto x(x-2). Para x<0 ambos x e x-2 são negativos e o produto é positivo; para 0<x<2 x é positivo e x-2 é negativo, produto negativo; para x>2 ambos positivos, produto positivo.

Passo 5

Conclusão a partir do sinal da derivada:
  • Onde \displaystyle f'(x)>0, a função é crescente.
  • Onde \displaystyle f'(x)<0, a função é decrescente.
Pelo passo anterior, temos que f é crescente em (-\infty,0) e em (2,\infty), e decrescente em (0,2).
Como observação extra (útil na prova): nos pontos críticos x=0 e x=2 a monotonicidade muda de crescente para decrescente em x=0 (portanto x=0 é máximo local) e de decrescente para crescente em x=2 (portanto x=2 é mínimo local). Valores de f nesses pontos: \displaystyle f(0)=1 e \displaystyle f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+1=8-12+1=-3.

Resposta

Cresce em (-\infty,0) e em (2,\infty).
Decresce em (0,2).

Exercícios relacionados