Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento da função
.
Informações dadas: a expressão analítica de para todo
. Não há outras restrições. O que você precisa entregar são os intervalos (no eixo
) onde
cresce e onde
decresce.
Informações dadas: a expressão analítica de
Passo 2
O conceito que vamos usar: uma função é crescente num intervalo quando, ao aumentarmos
, o valor de
também aumenta; é decrescente quando
diminui ao aumentar
. Uma ferramenta prática para testar crescimento/decrescimento é a derivada: se
em um intervalo então
é crescente ali; se
então
é decrescente ali. Vou calcular a derivada de
.
Calculemos a derivada termo a termo: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
. Portanto,
Passo 3
Simplificamos a derivada por fator comum para facilitar resolver
. Colocando fator
em evidência:
Para encontrar pontos críticos (onde a monotonicidade pode mudar) resolvemos
:
Esses são os pontos que dividem a reta real em intervalos onde o sinal de
é constante:
,
e
.
Passo 4
Agora determinamos o sinal de
em cada intervalo, testando um ponto simples em cada um.
-
Para o intervalo
, escolha . Então . Logo em . -
Para o intervalo
, escolha . Então . Logo em . -
Para o intervalo
, escolha . Então . Logo em .
Explicando a lógica: o fator
é sempre positivo, então o sinal de
é o mesmo do produto
. Para
ambos
e
são negativos e o produto é positivo; para
é positivo e
é negativo, produto negativo; para
ambos positivos, produto positivo.
Passo 5
Conclusão a partir do sinal da derivada:
- Onde
, a função é crescente. - Onde
, a função é decrescente.
Pelo passo anterior, temos que
é crescente em
e em
, e decrescente em
.
Como observação extra (útil na prova): nos pontos críticos
e
a monotonicidade muda de crescente para decrescente em
(portanto
é máximo local) e de decrescente para crescente em
(portanto
é mínimo local). Valores de
nesses pontos:
e
.
Resposta
Cresce em
e em
.
Decresce em .
Decresce em