- Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.
c)
j)
,
- Suponha que
seja derivável até a
ordem em
e tal que para todo
a) Prove que, se
for ponto de máximo local, então
.
b) Prove que, se
for ponto de mínimo local, então
.
c) Prove que
para todo
.
(Sugestão: Observe que
.)
c)
j)
b) Prove que, se
c) Prove que
(Sugestão: Observe que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, para as funções
c)
j)
devemos encontrar todos os pontos críticos, classificar máximos e mínimos locais e discutir extremos globais. O conteúdo aqui é derivadas, teste da primeira derivada para monotonicidade e teste de sinal da derivada em torno dos críticos.
Depois, no problema 7, há uma função duas vezes diferenciável em
que satisfaz
c)
j)
devemos encontrar todos os pontos críticos, classificar máximos e mínimos locais e discutir extremos globais. O conteúdo aqui é derivadas, teste da primeira derivada para monotonicidade e teste de sinal da derivada em torno dos críticos.
Depois, no problema 7, há uma função
Precisamos mostrar as implicações sobre localização de máximos e mínimos locais e provar que
. Aqui o conteúdo é resolução de equação diferencial linear de primeira ordem e interpretação de extrema local.
Passo 2
Estudo de
.
- Calcular a derivada:
- Observar o sinal de
: como e para todo , tem-se
- Conclusões de monotonicidade e extremos:
-
é estritamente crescente em . - Não há pontos em que
, logo não existem máximos nem mínimos locais. - Em
, , então não há mínimo global; - em
, , logo não há máximo global.
-
Passo 3
Estudo de
.
- Domínio:
Chamamos de
esse conjunto de
onde o denominador não se anula.
2. Derivada de pelo quociente:
2. Derivada de
Como
no domínio, o sinal de
depende de
- Pontos críticos: resolver
A única solução positiva está em
(pois para
vale
), e há sua simétrica negativa em
.
4. Classificação local:
4. Classificação local:
- Em torno de
, a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local. - Em torno de
, a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local.
- Extremos globais:
- Há assíntotas verticais onde
, de modo que não é contínua em toda e não atinge máximo ou mínimo global sobre todo o domínio.
- Há assíntotas verticais onde
Passo 4
Resolução do problema 7, isto é, da equação
- Reescrever como equação linear de 1.ª ordem:
O fator integrante é
. Multiplicando em ambos os lados:
- Integrar:
- Usar que
é diferenciável em . Da fórmula original em vem
Para que
não introduza singularidade em
, devemos ter
. Logo
- Conclusões:
a) Se existisse ponto de máximo local estrito, precisaríamos dee mudança de sinal, mas aqui . Para função constante não há máximos estritos, então a afirmação “se é máximo local então ” é vacuamente verdadeira.
b) Analogamente, não há mínimos locais estritos, e “seé mínimo local então ” também é vacuamente verdadeira.
c) Comopara todo , tem-se imediatamente
Resposta
c)
para todo
, logo
é estritamente crescente, sem extremos locais nem globais.
j)
então os únicos pontos críticos satisfazem
, ou seja
. Em
há máximo local e em
há mínimo local. Não há extremos globais devido a assíntotas onde
.
- A equação dá
, e a condição de diferenciabilidade em força . Assim identicamente, o que torna as implicações de (a) e (b) vacuamente verdadeiras e garante para todo .