H. 151 Obter a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\frac{1}{x}+e^{x} no ponto de abscissa x_{0}=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \frac{1}{x} + e^{x}
e pede a reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa x_{0} = -1. Para traçar essa reta, precisamos de duas informações: o valor da função em x_{0}, ou seja f(x_{0}), e a derivada f'(x_{0}), que fornece a inclinação da reta.

Passo 2

Calculamos f(-1):
f(-1) = \frac{1}{-1} + e^{-1} = -1 + e^{-1}.

Passo 3

Obtemos a derivada de f. Como \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = -\tfrac{1}{x^{2}} e \frac{d}{dx}(e^{x}) = e^{x}, temos
f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} + e^{x}.

Passo 4

Avaliamo f'(-1):
f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^{2}} + e^{-1} = -1 + e^{-1}.

Passo 5

A equação da reta tangente, em forma ponto-inclinação, passa por \bigl(-1,\,-1 + e^{-1}\bigr) e tem coeficiente angular f'(-1). Logo,
y - \bigl(-1 + e^{-1}\bigr) = \bigl(-1 + e^{-1}\bigr)\bigl(x - (-1)\bigr).

Passo 6

Podemos simplificar essa equação. Primeiro expandindo:
y + 1 - e^{-1} = (-1 + e^{-1})(x + 1).
Reescrevendo na forma explícita y = mx + b, chega-se a
y = \bigl(e^{-1} - 1\bigr)x + 2\bigl(e^{-1} - 1\bigr).

Resposta

y = (e^{-1} - 1)x + 2(e^{-1} - 1).

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