Estude a monotonicidade e limitação da sequência
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que eu estude a monotonicidade e a limitação dela. Vou assumir o índice inicial usual
com
(se começar em 0 as conclusões são semelhantes, só muda o valor de
). Informações úteis imediatas:
,
, etc. As perguntas que vou responder são:
- A sequência é crescente, decrescente ou varia de outro modo?
- A sequência é limitada (acima, abaixo)? Quais são os limites superior/inferior (supremo/ínfimo)?
Passo 2
O que significa ser monotônica (explicação didática)?
- Dizemos que uma sequência
é crescente se, para todo , vale . É estritamente crescente se para todo . - Dizemos que é decrescente se
para todo , estritamente decrescente se para todo .
Na prática, um método comum para verificar monotonicidade é calcular a diferença. Se essa diferença for positiva para todo então a sequência é estritamente crescente; se negativa, é estritamente decrescente.
Passo 3
Calcular a diferença
e simplificar (contas passo a passo).
Coloco no mesmo denominador:
Agora desenvolvo os numeradores:
Subtraindo:
Portanto
Como
para todo
, segue que
Passo 4
Conclusão sobre monotonicidade (com interpretação intuitiva)
Da conta anterior temos para todo
. Logo a sequência
é estritamente crescente: cada termo é maior que o anterior. Intuitivamente: ao aumentar
o numerador e o denominador crescem, mas o denominador cresce apenas uma unidade a mais, então a fração aproxima-se cada vez mais de
subindo.
Da conta anterior temos
Passo 5
O que significa ser limitada (explicação didática)
- Dizer que uma sequência é limitada superiormente significa que existe um número
tal que para todo . - Limitada inferiormente significa que existe
tal que para todo . - Se existir ambos, dizemos simplesmente que é limitada.
Passo 6
Mostrar limites simples por desigualdades (contas passo a passo)
Primeiro, para todo temos
e
, então
Primeiro, para todo
Também, como
, ao dividir por
obtemos
Portanto, para todo
,
Isto mostra que
é uma cota inferior (mas não necessariamente a maior) e
é uma cota superior (também não é atingida). Como a sequência é estritamente crescente e
, o menor termo da sequência é
. Assim:
Observação:
é supremo (menor cota superior) mas não pertence à sequência (nenhum termo é igual a
).
Passo 7
Consequência (teorema e cálculo do limite)
Existe um resultado importante (teorema das sequências monotônicas): toda sequência monotonica e limitada converge. Já mostrei que a sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por , logo ela converge. Para encontrar o limite, uma forma direta é reescrever
dividindo numerador e denominador por
:
Existe um resultado importante (teorema das sequências monotônicas): toda sequência monotonica e limitada converge. Já mostrei que a sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por
Como
quando
, segue
Resposta
A sequência
é estritamente crescente.
Ela é limitada inferiormente por (mais fraca: por
) e limitada superiormente por
.
e
.
Ela é limitada inferiormente por