Estude a monotonicidade e limitação da sequência
a_{n}=\frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n}{n+1} e pede que eu estude a monotonicidade e a limitação dela. Vou assumir o índice inicial usual n\in\mathbb{N} com n\ge 1 (se começar em 0 as conclusões são semelhantes, só muda o valor de a_1). Informações úteis imediatas: a_1=\dfrac{1}{2}, a_2=\dfrac{2}{3}, etc. As perguntas que vou responder são:
  • A sequência é crescente, decrescente ou varia de outro modo?
  • A sequência é limitada (acima, abaixo)? Quais são os limites superior/inferior (supremo/ínfimo)?

Passo 2

O que significa ser monotônica (explicação didática)?
  • Dizemos que uma sequência (a_n) é crescente se, para todo n, vale a_{n+1}\ge a_n. É estritamente crescente se a_{n+1}>a_n para todo n.
  • Dizemos que é decrescente se a_{n+1}\le a_n para todo n, estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n para todo n.
    Na prática, um método comum para verificar monotonicidade é calcular a diferença a_{n+1}-a_n. Se essa diferença for positiva para todo n então a sequência é estritamente crescente; se negativa, é estritamente decrescente.

Passo 3

Calcular a diferença a_{n+1}-a_n e simplificar (contas passo a passo).
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}.
Coloco no mesmo denominador:
a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}.
Agora desenvolvo os numeradores:
(n+1)(n+1)=n^2+2n+1,\qquad n(n+2)=n^2+2n.
Subtraindo:
(n^2+2n+1)-(n^2+2n)=1.
Portanto
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+2)(n+1)}.
Como (n+1)(n+2)>0 para todo n\ge1, segue que
a_{n+1}-a_n>0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 4

Conclusão sobre monotonicidade (com interpretação intuitiva)
Da conta anterior temos a_{n+1}-a_n>0 para todo n\ge1. Logo a sequência \left(\dfrac{n}{n+1}\right) é estritamente crescente: cada termo é maior que o anterior. Intuitivamente: ao aumentar n o numerador e o denominador crescem, mas o denominador cresce apenas uma unidade a mais, então a fração aproxima-se cada vez mais de 1 subindo.

Passo 5

O que significa ser limitada (explicação didática)
  • Dizer que uma sequência é limitada superiormente significa que existe um número M tal que a_n\le M para todo n.
  • Limitada inferiormente significa que existe m tal que a_n\ge m para todo n.
  • Se existir ambos, dizemos simplesmente que é limitada.

Passo 6

Mostrar limites simples por desigualdades (contas passo a passo)
Primeiro, para todo n\ge1 temos n>0 e n+1>0, então
a_n=\frac{n}{n+1}>0.
Também, como n<n+1, ao dividir por n+1>0 obtemos
\frac{n}{n+1}<1.
Portanto, para todo n\ge1,
0<\frac{n}{n+1}<1.
Isto mostra que 0 é uma cota inferior (mas não necessariamente a maior) e 1 é uma cota superior (também não é atingida). Como a sequência é estritamente crescente e a_1=\dfrac{1}{2}, o menor termo da sequência é a_1. Assim:
\inf\{a_n\}=a_1=\frac{1}{2},\qquad \sup\{a_n\}=1.
Observação: 1 é supremo (menor cota superior) mas não pertence à sequência (nenhum termo é igual a 1).

Passo 7

Consequência (teorema e cálculo do limite)
Existe um resultado importante (teorema das sequências monotônicas): toda sequência monotonica e limitada converge. Já mostrei que a sequência é estritamente crescente e limitada superiormente por 1, logo ela converge. Para encontrar o limite, uma forma direta é reescrever a_n dividindo numerador e denominador por n:
a_n=\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{n}}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{1+0}=1.

Resposta

A sequência a_n=\dfrac{n}{n+1} é estritamente crescente.
Ela é limitada inferiormente por a_1=\dfrac{1}{2} (mais fraca: por 0) e limitada superiormente por 1.
\inf a_n=\dfrac{1}{2},\\ \sup a_n=1 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1.

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