Sejam a_{n} \rightarrow 3 e b_{n} \rightarrow 2. Determine:
(b) \lim \left(a_{n} b_{n}\right)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • a_{n}\rightarrow 3.
  • b_{n}\rightarrow 2.
O que se pede:
  • Determinar \displaystyle \lim \left(a_{n} b_{n}\right).

Passo 2

Ideia geral que vamos provar (sem assumir nada): mostrar que o produto das sequências converge ao produto dos limites. Mais precisamente, queremos provar que
\lim_{n\to\infty} a_n b_n = 3\cdot 2 = 6.
Vou fazer uma prova rigorosa usando a definição de limite (prova \varepsilon- N) e, antes, usar um fato importante: toda sequência convergente é limitada (ou seja, existe uma constante que a domina em valor absoluto a partir de um certo índice).

Passo 3

Explicando o fato usado: “sequência convergente é limitada”. Isso significa: se \left(a_n\right) converge para 3, então existe M_1>0 e N_1 tais que para todo n\ge N_1 vale |a_n|\le M_1. De modo análogo, como b_n\to 2, existe M_2>0 e N_2 tais que para todo n\ge N_2 temos |b_n|\le M_2. Um jeito prático de obter um limite simples para b_n é usar \varepsilon=1: existe N_0 tal que, para todo n\ge N_0,
|b_n-2|<1 \quad\Rightarrow\quad |b_n|\le |2|+1=3.
Ou seja, para n\ge N_0 temos o cota simples |b_n|\le 3. Essa cota será útil para controlar um termo do erro.

Passo 4

Prova \varepsilon- N. Seja \varepsilon>0 arbitrário. Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_n b_n - 6\right| < \varepsilon.
Começamos decompondo o erro:
\left|a_n b_n - 6\right| = \left|a_n b_n - 3 b_n + 3 b_n - 6\right| = \left|(a_n-3)b_n + 3(b_n-2)\right|.
Pelo triângulo e multiplicatividade do módulo,
\left|a_n b_n - 6\right| \le |a_n-3|\,|b_n| + 3|b_n-2|.
Agora, como explicado no Passo 3, existe N_0 tal que para todo n\ge N_0 temos |b_n|\le 3. Fixe esse N_0. Para controlar os dois termos à direita, exigimos que cada um seja menor que \varepsilon/2. Ou seja, queremos:
|a_n-3|\,|b_n| \le 3|a_n-3| < \frac{\varepsilon}{2} \quad\text{e}\quad 3|b_n-2| < \frac{\varepsilon}{2}.
Isso equivale a escolher n grande o suficiente para satisfazer
|a_n-3| < \frac{\varepsilon}{6} \quad\text{e}\quad |b_n-2| < \frac{\varepsilon}{6}.
Pela convergência de a_n para 3, existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1, vale |a_n-3|<\varepsilon/6. Pela convergência de b_n para 2, existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2, vale |b_n-2|<\varepsilon/6. Agora tome
N=\max\{N_0,N_1,N_2\}.
Para todo n\ge N temos simultaneamente |b_n|\le 3, |a_n-3|<\varepsilon/6 e |b_n-2|<\varepsilon/6. Assim, para n\ge N,
\left|a_n b_n - 6\right| \le 3|a_n-3| + 3|b_n-2| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{6} + 3\cdot\frac{\varepsilon}{6} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso completa a prova de que \lim_{n\to\infty} a_n b_n = 6.

Passo 5

Comentário didático e exemplo rápido: intuitivamente, se a_n fica cada vez mais perto de 3 e b_n cada vez mais perto de 2, então seus produtos ficam cada vez mais perto de 3\cdot 2. Um exemplo concreto: se a_n=3+1/n e b_n=2-1/n, então a_n\to 3, b_n\to 2 e a_n b_n = 6 + (3(-1/n) + 2(1/n)) + \text{termo em }1/n^2 \to 6. A técnica usada na prova (decompor o erro e usar que as sequências são limitadas) é a que se usa frequentemente em provas de limites de produtos.

Resposta

6

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