Sejam
e
. Determine:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar
.
Passo 2
Ideia geral que vamos provar (sem assumir nada): mostrar que o produto das sequências converge ao produto dos limites. Mais precisamente, queremos provar que
Vou fazer uma prova rigorosa usando a definição de limite (prova
-
) e, antes, usar um fato importante: toda sequência convergente é limitada (ou seja, existe uma constante que a domina em valor absoluto a partir de um certo índice).
Passo 3
Explicando o fato usado: “sequência convergente é limitada”. Isso significa: se
converge para
, então existe
e
tais que para todo
vale
. De modo análogo, como
, existe
e
tais que para todo
temos
. Um jeito prático de obter um limite simples para
é usar
: existe
tal que, para todo
,
Ou seja, para
temos o cota simples
. Essa cota será útil para controlar um termo do erro.
Passo 4
Prova
-
. Seja
arbitrário. Queremos encontrar
tal que, para todo
,
Começamos decompondo o erro:
Pelo triângulo e multiplicatividade do módulo,
Agora, como explicado no Passo 3, existe
tal que para todo
temos
. Fixe esse
. Para controlar os dois termos à direita, exigimos que cada um seja menor que
. Ou seja, queremos:
Isso equivale a escolher
grande o suficiente para satisfazer
Pela convergência de
para
, existe
tal que, para todo
, vale
. Pela convergência de
para
, existe
tal que, para todo
, vale
. Agora tome
Para todo
temos simultaneamente
,
e
. Assim, para
,
Isso completa a prova de que
.
Passo 5
Comentário didático e exemplo rápido: intuitivamente, se
fica cada vez mais perto de
e
cada vez mais perto de
, então seus produtos ficam cada vez mais perto de
. Um exemplo concreto: se
e
, então
,
e
. A técnica usada na prova (decompor o erro e usar que as sequências são limitadas) é a que se usa frequentemente em provas de limites de produtos.