Estude a convergência de
\sum \frac{1}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}.
Informações dadas:
  • Os termos da série são a_n=\dfrac{1}{n^{2}+1}.
  • A soma é tomada sobre n=1,2,3,\dots.
    A pergunta é: essa série converge ou diverge? Se converge, quero uma justificativa clara e didática.

Passo 2

O que significa “estudar a convergência” aqui (lembrete prático)?
  • Uma série \sum a_n de termos positivos converge se a sequência das somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} a_ntem limite finito quando N\to\infty.
  • Para séries com termos positivos, uma técnica simples e poderosa é o teste da comparação: se for possível comparar a_n com uma outra sequência b_n cujos somatórios a gente já conhece, dá para decidir a convergência.

Passo 3

Lembrete didático: série p (p-série) e seu fato básico.
  • A p-série é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
  • Fato conhecido (importante na prova): se p>1 então \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge; se p\le 1 diverge.
  • No nosso caso, a p-série relevante é \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} com p=2>1, então essa p-série converge (valor conhecido: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}, mas não precisamos do valor exato para provar convergência).

Passo 4

Aplicando o teste da comparação direta (ideia e versão usada).
  • Versão usada: se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • No nosso caso temos, para todo n\ge 1: n^{2}+1>n^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{n^{2}+1}<\frac{1}{n^{2}}.Ou seja, 0\le a_n=\dfrac{1}{n^{2}+1}\le b_n=\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Concluindo com a comparação.
  • Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (é uma p-série com p=2>1) e 0\le \dfrac{1}{n^{2}+1}\le \dfrac{1}{n^{2}} para todo n, pelo teste da comparação direta segue que \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}também converge.

Passo 6

Observações úteis para a prova e intuição extra (sem pular etapas).
  • Como todos os termos a_n são positivos, a convergência que demonstramos é a mesma que dizer que a série converge absolutamente (em séries de termos positivos não faz diferença, mas é boa palavra-chave para a prova: “converge absolutamente”).
  • Também se quiser uma estimativa numérica simples: como \dfrac{1}{n^{2}+1}\le \dfrac{1}{n^{2}} para todo n, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},então a soma total é menor que \dfrac{\pi^{2}}{6} (isso pode ser útil se pedirem uma cota superior).
  • Alternativa rápida que costuma aparecer na prova: o teste da comparação limite (limit comparison test). Calcule \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1.Como o limite é um número finito não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento; como \sum 1/n^{2} converge, a nossa converge também. Essa via é equivalente e às vezes até mais direta.

Resposta

A série converge (converge absolutamente) por comparação com a p-série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, que converge ( p=2>1).

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