Estude a convergência de
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Informações dadas:
- Os termos da série são
. - A soma é tomada sobre
.
A pergunta é: essa série converge ou diverge? Se converge, quero uma justificativa clara e didática.
Passo 2
O que significa “estudar a convergência” aqui (lembrete prático)?
- Uma série
de termos positivos converge se a sequência das somas parciais tem limite finito quando . - Para séries com termos positivos, uma técnica simples e poderosa é o teste da comparação: se for possível comparar
com uma outra sequência cujos somatórios a gente já conhece, dá para decidir a convergência.
Passo 3
Lembrete didático: série p (p-série) e seu fato básico.
- A p-série é
. - Fato conhecido (importante na prova): se
então converge; se diverge. - No nosso caso, a p-série relevante é
com , então essa p-série converge (valor conhecido: , mas não precisamos do valor exato para provar convergência).
Passo 4
Aplicando o teste da comparação direta (ideia e versão usada).
- Versão usada: se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - No nosso caso temos, para todo
: Ou seja, .
Passo 5
Concluindo com a comparação.
- Como
converge (é uma p-série com ) e para todo , pelo teste da comparação direta segue que também converge.
Passo 6
Observações úteis para a prova e intuição extra (sem pular etapas).
- Como todos os termos
são positivos, a convergência que demonstramos é a mesma que dizer que a série converge absolutamente (em séries de termos positivos não faz diferença, mas é boa palavra-chave para a prova: “converge absolutamente”). - Também se quiser uma estimativa numérica simples: como
para todo , então a soma total é menor que (isso pode ser útil se pedirem uma cota superior). - Alternativa rápida que costuma aparecer na prova: o teste da comparação limite (limit comparison test). Calcule
Como o limite é um número finito não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento; como converge, a nossa converge também. Essa via é equivalente e às vezes até mais direta.
Resposta
A série converge (converge absolutamente) por comparação com a p-série
, que converge (
).