Estude a natureza da seguinte série numérica. Em caso de convergência indique se a convergência é simples ou absoluta.
sumn=1^+infty (-2)^n(n+1)!

Passo 1

Temos a série sumn=1^+infty(-2)^n(n+1)!. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Consideramos a série de módulos sumn=1^+inftyl|anr|=sumn=1^+infty2^n(n+1)! e aplicamos o teste da razão. Calculamos o limite:
L=limntoinfty|an+1||an|=limntoinfty2^n+1/(n+2)!2^n/(n+1)!=limntoinfty2n+2=0
Como L<1, essa série de módulos converge.

Passo 3

Pelo fato de a série de módulos convergir, a série original converge absolutamente. E toda série que converge absolutamente também converge simplesmente.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge simplesmente.

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