Estude a natureza da seguinte série numérica. Em caso de convergência indique se a convergência é simples ou absoluta.
sumn=1^+infty n+1n^3+3 n^2+4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série numérica:
sumn=1^+infty n+1n^3+3 n^2+4
O objetivo é entender se essa série converge ou não. Se ela convergir, também precisamos dizer se a convergência é simples ou absoluta. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de análise de séries, como o teste da comparação ou o teste da razão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor o comportamento dos termos quando $ n $ fica bem grande.
Observando o numerador e o denominador:
n
Quando $ n $ cresce, os termos de maior ordem (maior potência de $ n $) dominam. Então, podemos aproximar a fração por:
n+1n^3+3 n^2+4
Isso nos dá uma ideia de que a série pode se comportar de maneira similar à série $ \sum \frac{1}{n^{2}} $, que sabemos que converge.

Passo 3

Agora, vamos usar o teste da comparação para confirmar se realmente a série original converge. O teste da comparação funciona assim: se a série que queremos estudar tem termos menores que uma série conhecida que converge, então a nossa série também converge.
Já sabemos que:
sumn=1^+infty 1n^2
é uma série convergente (é a famosa série de p com $ p = 2 $).
Vamos comparar os termos:
p = 2
Como $ \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} \leq \frac{2}{n^{2}} $ para $ n \geq 1 $, e sabemos que $ \sum \frac{2}{n^{2}} $ também converge (é uma constante múltipla de uma série convergente), podemos concluir que a série original converge.

Passo 4

Como todos os termos da série original são positivos, a convergência é absoluta. Isso significa que não precisamos nos preocupar com a alternância de sinais ou outras complicações; a série simplesmente soma termos positivos e converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty n+1n^3+3 n^2+4 converge de maneira absoluta.

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