Estude a natureza da seguinte série numérica. Em caso de convergência indique se a convergência é simples ou absoluta.
sumn=1^+infty(-1)^n 1raizn+2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série numérica da forma:
sumn=1^+infty(-1)^n 1raizn+2
O objetivo é estudar a natureza dessa série, ou seja, determinar se ela converge ou não. E se convergir, identificar se a convergência é simples ou absoluta. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de séries alternadas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a série é alternada devido ao termo (-1)^n. Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo a cada termo. Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sumn=1^+infty (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. A sequência an é decrescente, ou seja, an+1 <= an para todo n.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.
Vamos verificar esses três pontos para a nossa série.

Passo 4

1. Termos positivos: Na nossa série, an = 1raizn+2, que é positivo para todo n.
2. Sequência decrescente: Vamos verificar se an+1 <= an:
an+1 = 1raiz(n+1)+2 = 1raizn+3
Como n+3 > n+2, então raizn+3 > raizn+2, o que implica que an+1 < an. Portanto, a sequência é decrescente.
3. Limite zero: Vamos calcular limn to infty an:
limn to infty 1raizn+2 = 0
Então, todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, o que significa que a série converge.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty |(-1)^n 1raizn+2| = sumn=1^+infty 1raizn+2
Essa é uma série do tipo p com p = 12. Sabemos que a série sum 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1.
Como p = 12 <= 1, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 6

Como a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a convergência é condicional, não sendo absoluta.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n 1raizn+2 converge condicionalmente.

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