Estude a natureza da seguinte série numérica. Em caso de convergência indique se a convergência é simples ou absoluta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série numérica da forma:
O objetivo é estudar a natureza dessa série, ou seja, determinar se ela converge ou não. E se convergir, identificar se a convergência é simples ou absoluta. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de séries alternadas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a série é alternada devido ao termo . Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo a cada termo. Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
Os termos são positivos.
A sequência é decrescente, ou seja, para todo .
O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar esses três pontos para a nossa série.
Passo 4
1. Termos positivos: Na nossa série, , que é positivo para todo .
2. Sequência decrescente: Vamos verificar se :
Como , então , o que implica que . Portanto, a sequência é decrescente.
3. Limite zero: Vamos calcular :
Então, todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, o que significa que a série converge.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série do tipo p com p = 12. Sabemos que a série sum 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1.
Como p = 12 <= 1, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 6
Como a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a convergência é condicional, não sendo absoluta.
Resposta
A série sumn=1^+infty(-1)^n 1raizn+2converge condicionalmente.