Estude a posição relativa dos planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: X=(1,1,1)+\lambda(0,1,1)+\mu(-1,2,-1) e π_{2}: X=(1,0,0)+\lambda(1,-1,0)+\mu(-1,-1,-2)

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a posição relativa entre os planos π_{1} e π_{2}. As informações dadas são:
  • Equação paramétrica do plano π_{1}:
X=(1,1,1)+\lambda(0,1,1)+\mu(-1,2,-1),
com parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
  • Equação paramétrica do plano π_{2}:
X=(1,0,0)+\lambda(1,-1,0)+\mu(-1,-1,-2),
com parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
  • Dos enunciados extraio os pontos e vetores geradores:
    • Para π_{1}: ponto P_{1}=(1,1,1) e vetores geradores \mathbf{v}_{1}=(0,1,1), \mathbf{w}_{1}=(-1,2,-1).
    • Para π_{2}: ponto P_{2}=(1,0,0) e vetores geradores \mathbf{v}_{2}=(1,-1,0), \mathbf{w}_{2}=(-1,-1,-2).
O objetivo é determinar se os planos são coincidentes, paralelos distintos, ou se intersectam, e, no último caso, encontrar a reta de interseção.

Passo 2

Primeira ideia prática: para saber se dois planos são paralelos ou não, eu calculo um vetor normal a cada plano. Se os vetores normais forem proporcionais, os planos são paralelos (podendo ser coincidentes se tiverem um ponto em comum). Se os normais não forem proporcionais, os planos se intersectam numa reta.
Como obter um vetor normal a um plano dado por dois vetores diretores? Uso o produto vetorial (cross product). Uma explicação curta do produto vetorial: dado \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular tanto a \mathbf{a} quanto a \mathbf{b}, dado pela determinante:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
que se expande componente a componente. Esse vetor será o normal do plano gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Vou aplicar isso aos vetores geradores de cada plano.

Passo 3

Calculo o vetor normal de π_{1} usando \mathbf{v}_{1}=(0,1,1) e \mathbf{w}_{1}=(-1,2,-1). Faço o produto vetorial:
\mathbf{n}_{1}=\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{w}_{1}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo por co-fatores:
\mathbf{n}_{1}=\mathbf{i}(1\cdot(-1)-1\cdot2)-\mathbf{j}(0\cdot(-1)-1\cdot(-1))+\mathbf{k}(0\cdot2-1\cdot(-1)).
Calculando cada parte:
\mathbf{n}_{1}=\mathbf{i}(-1-2)-\mathbf{j}(0+1)+\mathbf{k}(0+1)=(-3,-1,1).

Passo 4

Calculo o vetor normal de π_{2} usando \mathbf{v}_{2}=(1,-1,0) e \mathbf{w}_{2}=(-1,-1,-2):
\mathbf{n}_{2}=\mathbf{v}_{2}\times\mathbf{w}_{2}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ -1 & -1 & -2 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{n}_{2}=\mathbf{i}((-1)\cdot(-2)-0\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot(-2)-0\cdot(-1))+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)).
Calculando:
\mathbf{n}_{2}=\mathbf{i}(2)-\mathbf{j}(-2)+\mathbf{k}(-1-1)=(2,2,-2).
Posso simplificar \mathbf{n}_{2}=2(1,1,-1), mas o importante é o sentido relativo.

Passo 5

Comparo os normais \mathbf{n}_{1}=(-3,-1,1) e \mathbf{n}_{2}=(2,2,-2). Se fossem proporcionais existiria k\in\mathbb{R} tal que \mathbf{n}_{1}=k\mathbf{n}_{2}. Comparando componentes, teríamos k=-3/2 pela primeira componente, mas então a segunda componente exigiria -1=k\cdot 2\Rightarrow k=-1/2, que é incompatível. Logo os vetores normais não são proporcionais.
Conclusão desta etapa: os planos não são paralelos; portanto eles se intersectam numa reta.

Passo 6

Agora preciso encontrar explicitamente a reta de interseção. Estratégia prática: igualar as coordenadas de um ponto genérico de [π_{1}) com as coordenadas de um ponto genérico de π_{2} (cada um em sua forma paramétrica) e resolver o sistema para os parâmetros; assim obtenho pontos comuns e a reta geradora.
Escrevo as coordenadas de um ponto genérico de π_{1}. A partir de
X=(1,1,1)+\lambda(0,1,1)+\mu(-1,2,-1),
tenho
\begin{cases} x=1- \mu,\\[4pt] y=1+\lambda+2\mu,\\[4pt] z=1+\lambda-\mu. \end{cases}
Escrevo as coordenadas de um ponto genérico de π_{2}\]. A partir de \[X=(1,0,0)+s(1,-1,0)+t(-1,-1,-2),\] usando parâmetros \[s,t para não confundir com \lambda,\mu, obtenho
\begin{cases} x=1+s-t,\\[4pt] y=-s-t,\\[4pt] z=-2t. \end{cases}
Agora igualo as coordenadas correspondentes (sistema com incógnitas (\lambda,\mu,s,t]):
\begin{cases} 1-\mu = 1+s-t,\\[4pt] 1+\lambda+2\mu = -s-t,\\[4pt] 1+\lambda-\mu = -2t. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação:
1-\mu=1+s-t \quad\Rightarrow\quad -\mu=s-t \quad\Rightarrow\quad s=t-\mu.
Substituo s=t-\mu nas outras duas equações.
Segunda equação:
1+\lambda+2\mu = -s-t = -(t-\mu)-t = -2t+\mu.
Isolando \lambda:
\lambda = -1 -2\mu -2t +\mu = -1 -\mu -2t.
Terceira equação:
1+\lambda-\mu = -2t.
Substituo \lambda encontrado:
1+(-1-\mu-2t)-\mu = -2t \quad\Rightarrow\quad -2\mu-2t = -2t \quad\Rightarrow\quad -2\mu=0.
Logo \mu=0.
Com \mu=0 temos s=t-\mu=t e \lambda=-1-0-2t=-1-2t.

Passo 8

Agora recupero as coordenadas da reta usando t\) como parâmetro. Usando as fórmulas de \(π_{2}\) (mais simples aqui): \[\begin{cases} x=1+s-t=1+t-t=1,\\[4pt] y=-s-t=-t-t=-2t,\\[4pt] z=-2t. \end{cases}
Observação: y\] e \[z são iguais, ambos valendo -2t. Para escrever a reta numa forma mais agradável, tomo um novo parâmetro r=-2t. Então:
\begin{cases} x=1,\\[4pt] y=r,\\[4pt] z=r, \end{cases} \quad r\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial paramétrica:
X=(1,0,0)+r(0,1,1),\quad r\in\mathbb{R}.
Posso verificar rapidamente: escolhendo r=0\] obtenho o ponto \((1,0,0) que aparece como ponto gerador de π_{2} e que também, com \lambda=-1,\mu=0, pertence a π_{1}. A direção (0,1,1) é paralela ao vetor diretor de π_{1}, o que confirma coerência.]

Resposta

Os planos π_{1} e π_{2} intersectam-se numa reta.
Reta de interseção: X=(1,0,0)+r(0,1,1),\; r\in\mathbb{R}.

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