Escreva as equações paramétricas e geral do plano que contém o ponto A=(2,3,-1) e é paralelo aos vetores \vec{u}=(3,4,2) e \vec{v}=(2,-2,6). resp: eq. geral: \pi: 2 x-y-z=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever as equações paramétricas do plano que contém o ponto A=(2,3,-1) e é paralelo aos vetores \vec{u}=(3,4,2) e \vec{v}=(2,-2,6).
  • Escrever a equação geral (forma cartesiana) desse mesmo plano.
Dados fornecidos:
\;A=(2,3,-1), \;\vec{u}=(3,4,2), \;\vec{v}=(2,-2,6).

Passo 2

Conceito e forma vetorial paramétrica do plano: se um plano contém um ponto \vec{r_0} e é paralelo a dois vetores não colineares \vec{u} e \vec{v}, então qualquer ponto \vec{r} do plano pode ser escrito como combinação linear dessas direções a partir do ponto:
\vec{r}=\vec{r_0}+s\,\vec{u}+t\,\vec{v},
onde s e t são parâmetros reais. Aqui \vec{r_0} é o vetor posição do ponto dado (aqui A) e \vec{u},\vec{v} são vetores diretores do plano. Esta é a forma vetorial paramétrica do plano.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: \vec{r_0}=(2,3,-1), \vec{u}=(3,4,2), \vec{v}=(2,-2,6). Logo a forma vetorial é
\vec{r}=(2,3,-1)+s(3,4,2)+t(2,-2,6).
Agora escrevemos isso em equações paramétricas separadas (cada componente em função de s e t):
x=2+3s+2t,
y=3+4s-2t,
z=-1+2s+6t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Essas são as equações paramétricas do plano.

Passo 4

Para obter a equação geral do plano (da forma ax+by+cz=d) precisamos de um vetor normal \vec{n}=(a,b,c) ao plano. Um vetor normal é perpendicular a todo vetor contido no plano; em particular, é perpendicular aos vetores diretores \vec{u} e \vec{v}. Então podemos obter \vec{n} calculando o produto vetorial (cross product) \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}.

Passo 5

Cálculo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. A fórmula (componentes) é
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Para \vec{u}=(3,4,2) e \vec{v}=(2,-2,6) temos:
Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 4\cdot 6 - 2\cdot(-2) = 24 + 4 = 28.
Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot 2 - 3\cdot 6 = 4 - 18 = -14.
Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot(-2) - 4\cdot 2 = -6 - 8 = -14.
Portanto
\vec{n}=(28,-14,-14).

Passo 6

Podemos simplificar \vec{n} dividindo por 14 (um escalar não nulo), já que qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é normal ao plano. Assim uma escolha mais simples é
\vec{n}=(2,-1,-1).
Logo os coeficientes da equação geral serão a=2, b=-1, c=-1.

Passo 7

Equação do plano usando a normal: se \vec{n}=(a,b,c) e o plano passa por A=(x_0,y_0,z_0), então
\vec{n}\cdot\big((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\big)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=2, b=-1, c=-1 e A=(2,3,-1):
2(x-2)-1(y-3)-1(z+1)=0.
Expandindo:
2x-4 - y +3 - z -1 =0.
Agrupando termos:
2x - y - z -2 =0.
Assim a equação geral é
2x - y - z = 2.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar mais seguro): substituindo o ponto A na equação obtida:
2\cdot 2 - 3 - (-1) = 4 - 3 +1 =2,
que satisfaz a equação; e verificamos também que \vec{n}\cdot\vec{u}=2\cdot3 +(-1)\cdot4 +(-1)\cdot2 =6-4-2=0 e \vec{n}\cdot\vec{v}=2\cdot2 +(-1)\cdot(-2) +(-1)\cdot6 =4+2-6=0, ou seja, \vec{n} é perpendicular a \vec{u} e \vec{v}, como deve ser.

Resposta

Equações paramétricas: x=2+3s+2t,\; y=3+4s-2t,\; z=-1+2s+6t,\; s,t\in\mathbb{R}
Equação geral: \pi:\;2x-y-z=2

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