Escreva as equações paramétricas e geral do plano que contém o ponto
e é paralelo aos vetores
e
. resp: eq. geral:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever as equações paramétricas do plano que contém o ponto
e é paralelo aos vetores e . - Escrever a equação geral (forma cartesiana) desse mesmo plano.
Dados fornecidos:
,
,
.
Passo 2
Conceito e forma vetorial paramétrica do plano: se um plano contém um ponto
e é paralelo a dois vetores não colineares
e
, então qualquer ponto
do plano pode ser escrito como combinação linear dessas direções a partir do ponto:
onde
e
são parâmetros reais. Aqui
é o vetor posição do ponto dado (aqui
) e
são vetores diretores do plano. Esta é a forma vetorial paramétrica do plano.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
,
,
. Logo a forma vetorial é
Agora escrevemos isso em equações paramétricas separadas (cada componente em função de
e
):
onde
. Essas são as equações paramétricas do plano.
Passo 4
Para obter a equação geral do plano (da forma
) precisamos de um vetor normal
ao plano. Um vetor normal é perpendicular a todo vetor contido no plano; em particular, é perpendicular aos vetores diretores
e
. Então podemos obter
calculando o produto vetorial (cross product)
.
Passo 5
Cálculo do produto vetorial
. A fórmula (componentes) é
Para
e
temos:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 6
Podemos simplificar
dividindo por
(um escalar não nulo), já que qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é normal ao plano. Assim uma escolha mais simples é
Logo os coeficientes da equação geral serão
,
,
.
Passo 7
Equação do plano usando a normal: se
e o plano passa por
, então
ou seja
Substituindo
,
,
e
:
Expandindo:
Agrupando termos:
Assim a equação geral é
Passo 8
Verificação rápida (para ficar mais seguro): substituindo o ponto
na equação obtida:
que satisfaz a equação; e verificamos também que
e
, ou seja,
é perpendicular a
e
, como deve ser.
Resposta
Equações paramétricas:
Equação geral:
Equação geral: