Considere as bases ordenadas B=\{(-1,0),(1,1)\} e C=\{(1,0),(0,1)\}.
a) (1,0) Encontre a matriz mudança de base da base B para a base C, ou seja, M_{B}^{C}.
b) (0,5) Se v_{C}=\binom{0}{-2}, obtenha v_{B}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas do espaço \mathbb{R}^2:
B=\{(-1,0),(1,1)\},\qquad C=\{(1,0),(0,1)\}.
Ele faz duas perguntas:
a) Encontrar a matriz de mudança de base da base B para a base C, isto é M_{B}^{C}.
b) Dado \;v_{C}=\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix} (as coordenadas de v na base C), encontrar \;v_{B} (as coordenadas de v na base B).
As informações relevantes entregues pelo enunciado que usaremos: os vetores que formam B e os vetores que formam C (observe que C é a base canônica/ padrão).
Passo 2
Entendendo o que é M_{B}^{C} (a ideia importante que você precisa levar para a prova):
Por definição, M_{B}^{C} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor escritas na base B em coordenadas escritas na base C. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{C}=M_{B}^{C}[v]_{B}.
Uma forma prática de montar M_{B}^{C} é colocar como colunas dessa matriz as coordenadas, em relação à base C, dos vetores da base B:
No nosso caso C é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Então as coordenadas de qualquer vetor (x,y) em relação a C são simplesmente \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Isso simplifica bastante: as colunas de M_{B}^{C} serão apenas as componentes usuais dos vetores de B.
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior:
Os vetores de B são b_{1}=(-1,0) e b_{2}=(1,1). Expressos em relação à base C (a canônica) são
(Observação engraçadinha: nesta matriz específica a inversa acabou sendo igual à própria matriz M_{B}^{C}. Dá para ver isso também verificando que M_{B}^{C}\cdot M_{B}^{C}=I.)