Considere as bases ordenadas B=\{(-1,0),(1,1)\} e C=\{(1,0),(0,1)\}.
a) (1,0) Encontre a matriz mudança de base da base B para a base C, ou seja, M_{B}^{C}.
b) (0,5) Se v_{C}=\binom{0}{-2}, obtenha v_{B}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas do espaço \mathbb{R}^2:
B=\{(-1,0),(1,1)\},\qquad C=\{(1,0),(0,1)\}.
Ele faz duas perguntas:
a) Encontrar a matriz de mudança de base da base B para a base C, isto é M_{B}^{C}.
b) Dado \;v_{C}=\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix} (as coordenadas de v na base C), encontrar \;v_{B} (as coordenadas de v na base B).
As informações relevantes entregues pelo enunciado que usaremos: os vetores que formam B e os vetores que formam C (observe que C é a base canônica/ padrão).

Passo 2

Entendendo o que é M_{B}^{C} (a ideia importante que você precisa levar para a prova):
  • Por definição, M_{B}^{C} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor escritas na base B em coordenadas escritas na base C. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{C}=M_{B}^{C}[v]_{B}.
  • Uma forma prática de montar M_{B}^{C} é colocar como colunas dessa matriz as coordenadas, em relação à base C, dos vetores da base B:
M_{B}^{C}=\big([\;b_{1}\;]_{C}\;|\;[\;b_{2}\;]_{C}\big),
onde b_{1} e b_{2} são os vetores de B.
  • No nosso caso C é a base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Então as coordenadas de qualquer vetor (x,y) em relação a C são simplesmente \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Isso simplifica bastante: as colunas de M_{B}^{C} serão apenas as componentes usuais dos vetores de B.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior:
Os vetores de B são b_{1}=(-1,0) e b_{2}=(1,1). Expressos em relação à base C (a canônica) são
[\;b_{1}\;]_{C}=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad [\;b_{2}\;]_{C}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto a matriz M_{B}^{C} é obtida juntando essas colunas:
M_{B}^{C}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação conceitual rápida (útil para entender e para a prova): para coordenadas [v]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix},
M_{B}^{C}\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\alpha+\beta\\[4pt]\beta\end{pmatrix},
que é exatamente o vetor v escrito nas coordenadas canônicas (base C). Assim a montagem da matriz está correta.]

Passo 5

Agora a parte (b): temos [v]_{C}=\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix} e queremos [v]_{B}.
Usamos a relação do passo 2 e isolamos [v]_{B}:
[v]_{C}=M_{B}^{C}[v]_{B}\quad\Longrightarrow\quad [v]_{B}=(M_{B}^{C})^{-1}[v]_{C}.
Então precisamos calcular (M_{B}^{C})^{-1}.

Passo 6

Calculando a inversa de uma matriz 2\times2: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
temos
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix},
desde que o determinante \det(A)=ad-bc seja diferente de zero. Aqui A=M_{B}^{C} com a=-1,\;b=1,\;c=0,\;d=1. Então o determinante é
\det(M_{B}^{C})=(-1)\cdot 1 - 0\cdot 1 = -1\neq 0.
Logo a inversa existe e vale
(M_{B}^{C})^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
(Observação engraçadinha: nesta matriz específica a inversa acabou sendo igual à própria matriz M_{B}^{C}. Dá para ver isso também verificando que M_{B}^{C}\cdot M_{B}^{C}=I.)

Passo 7

Agora aplicamos a inversa ao vetor dado:
[v]_{B}=(M_{B}^{C})^{-1}\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix}.
Multiplicando coluna por coluna:
[v]_{B}=\begin{pmatrix}-1\cdot 0 + 1\cdot(-2)\\[4pt] 0\cdot 0 + 1\cdot(-2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Verificação final rápida: com essas coordenadas em B,
-2\,b_{1}+(-2)\,b_{2}=-2(-1,0)-2(1,1)=(2,0)+(-2,-2)=(0,-2),
que coincide com [v]_{C} fornecido. Tudo consistente.]

Resposta

M_{B}^{C}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}
v_{B}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\end{pmatrix}

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