Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y, z)=
x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x-3 y-3 z+2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar, em termos de máximos e mínimos locais, a função
f(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3x-3y-3z+2.
Perguntas que precisamos responder (explicitamente):
  • Quais são os pontos críticos de f (ou seja, onde o gradiente se anula)?
  • Para cada ponto crítico, qual é a sua natureza: mínimo local, máximo local ou ponto de sela?
  • Se relevante, quais são os valores de f nesses pontos e se algum desses extremos é global.
Informações dadas: a expressão explícita de f e que o domínio é todo \mathbb{R}^{3} (nenhuma restrição adicional).

Passo 2

Encontremos os pontos críticos: pontos onde todas as derivadas parciais são zero. Primeiro calculemos as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Lembre-se que a derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2} e a derivada de -3x é -3. Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3,
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3,
\frac{\partial f}{\partial z}=3z^{2}-3.
Para pontos críticos precisamos de \nabla f=(0,0,0), ou seja resolver o sistema
3x^{2}-3=0,\quad 3y^{2}-3=0,\quad 3z^{2}-3=0.
Dividindo por 3 em cada equação obtemos
x^{2}=1,\quad y^{2}=1,\quad z^{2}=1.
Assim cada coordenada vale \pm 1. Portanto os pontos críticos são todas as combinações de sinais \pm 1 nas três coordenadas, totalizando 2^{3}=8 pontos:
(1,1,1),\\ (1,1,-1),\\ (1,-1,1),\\ (1,-1,-1),\\ (-1,1,1),\\ (-1,1,-1),\\ (-1,-1,1),\\ (-1,-1,-1).

Passo 3

Agora precisamos classificar esses pontos críticos. Para isso usamos as segundas derivadas (Hessiano). Vou explicar o que é o Hessiano de forma direta e prática: para uma função f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}, o Hessiano H é a matriz 3\times3 cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}\\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \end{pmatrix}.
Regra prática de classificação (versão intuitiva e útil na prova):
  • Se o Hessiano num ponto crítico for definido positivo (todos os autovalores positivos) então é mínimo local.
  • Se for definido negativo (todos os autovalores negativos) então é máximo local.
  • Se for indefinido (autovalores de sinal misto) é ponto de sela.
  • Se algum autovalor for zero o teste pode ser inconclusivo (caso degenerado).
Para a nossa função calculemos as segundas derivadas. Derivando as parcials que já tínhamos:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6y,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=6z.
As derivadas mistas são nulas porque os termos mistos não aparecem em f:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}=0,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}=0.
Portanto o Hessiano é a matriz diagonal
H(x,y,z)=\mathrm{diag}\bigl(6x,\,6y,\,6z\bigr).
Isso facilita muito: para uma matriz diagonal, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Assim a natureza do ponto crítico depende apenas dos sinais de 6x,6y,6z no ponto.]

Passo 4

Classifiquemos cada ponto crítico usando o Hessiano diagonal. Lembre-se: 6>0, então o sinal de 6x é o sinal de x.
  • No ponto (1,1,1) temos H=\mathrm{diag}(6,6,6). Todas as entradas são positivas, logo o Hessiano é definido positivo. Conclusão: (1,1,1) é um mínimo local.
  • No ponto (-1,-1,-1) temos H=\mathrm{diag}(-6,-6,-6). Todas as entradas são negativas, logo o Hessiano é definido negativo. Conclusão: (-1,-1,-1) é um máximo local.
  • Em qualquer ponto com sinais mistos (por exemplo (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)) o Hessiano tem entradas diagonais com sinais diferentes (algumas positivas, outras negativas). Logo o Hessiano é indefinido e esses pontos são pontos de sela.

Passo 5

Para ficar bem concreto, calculemos os valores de f nos pontos extremos (útil para interpretar a natureza e comparar valores):
  • Em (1,1,1):
f(1,1,1)=1^{3}+1^{3}+1^{3}-3\cdot1-3\cdot1-3\cdot1+2=3-9+2=-4.
  • Em (-1,-1,-1):
f(-1,-1,-1)=(-1)^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}-3(-1)-3(-1)-3(-1)+2=-3+9+2=8.
Observação final sobre máximos/globais: como f tem termos cúbicos, se hacemos x=y=z=t e t\to+\infty então f\sim 3t^{3}\to+\infty, e se t\to-\infty então f\sim 3t^{3}\to-\infty. Portanto f é não limitada superiormente nem inferiormente; assim (-1,-1,-1) é apenas um máximo local (não máximo global), e (1,1,1) é apenas um mínimo local (não mínimo global).

Resposta

Pontos críticos: (\pm1,\pm1,\pm1) (todas as 2^{3}=8 combinações de sinais).
(1,1,1) é mínimo local com f(1,1,1)=-4.
(-1,-1,-1) é máximo local com f(-1,-1,-1)=8.
Os outros seis pontos (1,1,-1),(1,-1,1),( -1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1) são pontos de sela.
A função não possui máximo global nem mínimo global (é não limitada superior e inferiormente).

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