Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y, z)= x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x-3 y-3 z+2.
Passo 1
O enunciado pede para estudar, em termos de máximos e mínimos locais, a função
f(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3x-3y-3z+2.
Perguntas que precisamos responder (explicitamente):
Quais são os pontos críticos de f (ou seja, onde o gradiente se anula)?
Para cada ponto crítico, qual é a sua natureza: mínimo local, máximo local ou ponto de sela?
Se relevante, quais são os valores de f nesses pontos e se algum desses extremos é global.
Informações dadas: a expressão explícita de f e que o domínio é todo \mathbb{R}^{3} (nenhuma restrição adicional).
Passo 2
Encontremos os pontos críticos: pontos onde todas as derivadas parciais são zero. Primeiro calculemos as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Lembre-se que a derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2} e a derivada de -3x é -3. Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3,
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3,
\frac{\partial f}{\partial z}=3z^{2}-3.
Para pontos críticos precisamos de \nabla f=(0,0,0), ou seja resolver o sistema
3x^{2}-3=0,\quad 3y^{2}-3=0,\quad 3z^{2}-3=0.
Dividindo por 3 em cada equação obtemos
x^{2}=1,\quad y^{2}=1,\quad z^{2}=1.
Assim cada coordenada vale \pm 1. Portanto os pontos críticos são todas as combinações de sinais \pm 1 nas três coordenadas, totalizando 2^{3}=8 pontos:
Agora precisamos classificar esses pontos críticos. Para isso usamos as segundas derivadas (Hessiano). Vou explicar o que é o Hessiano de forma direta e prática: para uma função f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}, o Hessiano H é a matriz 3\times3 cujas entradas são as segundas derivadas parciais:
Isso facilita muito: para uma matriz diagonal, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Assim a natureza do ponto crítico depende apenas dos sinais de 6x,6y,6z no ponto.]
Passo 4
Classifiquemos cada ponto crítico usando o Hessiano diagonal. Lembre-se: 6>0, então o sinal de 6x é o sinal de x.
No ponto (1,1,1) temos H=\mathrm{diag}(6,6,6). Todas as entradas são positivas, logo o Hessiano é definido positivo. Conclusão: (1,1,1) é um mínimo local.
No ponto (-1,-1,-1) temos H=\mathrm{diag}(-6,-6,-6). Todas as entradas são negativas, logo o Hessiano é definido negativo. Conclusão: (-1,-1,-1) é um máximo local.
Em qualquer ponto com sinais mistos (por exemplo (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)) o Hessiano tem entradas diagonais com sinais diferentes (algumas positivas, outras negativas). Logo o Hessiano é indefinido e esses pontos são pontos de sela.
Passo 5
Para ficar bem concreto, calculemos os valores de f nos pontos extremos (útil para interpretar a natureza e comparar valores):
Observação final sobre máximos/globais: como f tem termos cúbicos, se hacemos x=y=z=t e t\to+\infty então f\sim 3t^{3}\to+\infty, e se t\to-\infty então f\sim 3t^{3}\to-\infty. Portanto f é não limitada superiormente nem inferiormente; assim (-1,-1,-1) é apenas um máximo local (não máximo global), e (1,1,1) é apenas um mínimo local (não mínimo global).
Resposta
Pontos críticos: (\pm1,\pm1,\pm1) (todas as 2^{3}=8 combinações de sinais).
(1,1,1) é mínimo local com f(1,1,1)=-4.
(-1,-1,-1) é máximo local com f(-1,-1,-1)=8.
Os outros seis pontos (1,1,-1),(1,-1,1),( -1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1) são pontos de sela.
A função não possui máximo global nem mínimo global (é não limitada superior e inferiormente).