Questão 3 ( \mathbf{2 , 5} pontos). Escolha e resolva um dos itens abaixo: \int \frac{1}{\sqrt{25+x^{2}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{25+x^{2}}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a função x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{25+x^{2}}}. Devemos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja essa integranda), ou seja, um antiderivado mais constante de integração C. Não há outras condições (domínio, valor inicial etc.).
Passo 2
Escolha do método: vou usar uma substituição trigonométrica. Dica prática: quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}+x^{2}} é conveniente usar a substituição
Simplificando 5 e uma potência de \operatorname{sec}\theta,
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Portanto a integral se reduziu a \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Passo 5
Integrar \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar um método padrão e didático.
Queremos integrar \operatorname{sec}\theta. Uma técnica clássica é multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e usar substituição. Faça assim:
Substituindo em \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|,
\ln\!\left|\frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5} + \frac{x}{5}\right| + C = \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{25+x^{2}}}{5}\right| + C.
Como \ln\!\left|\dfrac{\cdot}{5}\right| = \ln|\cdot| - \ln 5 e -\ln 5 é apenas uma constante, podemos absorvê-la em C. Logo a primitiva pode ser escrita de forma mais simples como
\ln\!\left|x+\sqrt{25+x^{2}}\right| + C.
Passo 7
Observação alternativa (útil para decorar): outra forma equivalente usa a função seno hiperbólico inversa. Se definirmos u=\dfrac{x}{5}, então a primitiva é