Questão 3 ( \mathbf{2 , 5} pontos). Escolha e resolva um dos itens abaixo:
\int \frac{1}{\sqrt{25+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{25+x^{2}}}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a função x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{25+x^{2}}}. Devemos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja essa integranda), ou seja, um antiderivado mais constante de integração C. Não há outras condições (domínio, valor inicial etc.).

Passo 2

Escolha do método: vou usar uma substituição trigonométrica. Dica prática: quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}+x^{2}} é conveniente usar a substituição
x = a\tan\theta,
porque então
\sqrt{a^{2}+x^{2}} = \sqrt{a^{2}+a^{2}\tan^{2}\theta}=a\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=a\operatorname{sec}\theta,
o que simplifica bastante a raiz. Aqui a=5, então escolhemos
x = 5\tan\theta.
Vou explicar cada passo com calma para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Calcule dx e expresse a raiz em termos de \theta.
A substituição é
x = 5\tan\theta.
Diferenciando, obtemos
dx = 5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
A raiz vira
\sqrt{25+x^{2}} = \sqrt{25+25\tan^{2}\theta} = 5\sqrt{1+\tan^{2}\theta} = 5\operatorname{sec}\theta.
Estas transformações são só álgebra e a identidade trigonométrica \;1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta\;.

Passo 4

Substitua na integral original.
Começamos com
\int \frac{1}{\sqrt{25+x^{2}}}\,dx.
Substituindo x e dx em termos de \theta,
\int \frac{1}{5\operatorname{sec}\theta}\cdot 5\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Simplificando 5 e uma potência de \operatorname{sec}\theta,
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Portanto a integral se reduziu a \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 5

Integrar \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar um método padrão e didático.
Queremos integrar \operatorname{sec}\theta. Uma técnica clássica é multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} e usar substituição. Faça assim:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Escrevendo o numerador,
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Agora observe que a derivada de \operatorname{sec}\theta+\tan\theta é
\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta,
que é exatamente o numerador. Então podemos fazer a substituição
u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\quad\Rightarrow\quad du=(\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.
Assim a integral vira
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
Voltando a u,
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
Essa é a primitiva padrão de \operatorname{sec}\theta.

Passo 6

Volte para a variável x. Lembramos que escolhemos x=5\tan\theta, então
\tan\theta = \frac{x}{5}.
Para encontrar \operatorname{sec}\theta usamos a identidade \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta, portanto
\operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta} = \sqrt{1+\left(\frac{x}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{25+x^{2}}{25}} = \frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5}.
Substituindo em \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|,
\ln\!\left|\frac{\sqrt{25+x^{2}}}{5} + \frac{x}{5}\right| + C = \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{25+x^{2}}}{5}\right| + C.
Como \ln\!\left|\dfrac{\cdot}{5}\right| = \ln|\cdot| - \ln 5 e -\ln 5 é apenas uma constante, podemos absorvê-la em C. Logo a primitiva pode ser escrita de forma mais simples como
\ln\!\left|x+\sqrt{25+x^{2}}\right| + C.

Passo 7

Observação alternativa (útil para decorar): outra forma equivalente usa a função seno hiperbólico inversa. Se definirmos u=\dfrac{x}{5}, então a primitiva é
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{5}\right)+C,
pois vale a identidade
\operatorname{arsinh}u = \ln\!\left(u+\sqrt{1+u^{2}}\right).
Aplicando com u=\dfrac{x}{5} obtemos a mesma expressão até uma constante. Use a forma que você lembrar melhor na prova.

Resposta

\ln\!\left|x+\sqrt{25+x^{2}}\right|+C

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