Questão 2 ( 2,5 pontos). Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{\pi / 6} \operatorname{sen}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/6} \sin^{2}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sin^{2}(x).
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e \pi/6 (superior).
    Pergunta: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma \sin^{2}(x) numa forma mais fácil de integrar. A identidade é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x).
Desse trecho isolamos \sin^{2}(x). Fazendo álgebra,
2\sin^{2}(x)=1-\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad \sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explicando: escrevemos \cos(2x) em termos de \sin^{2}(x) porque \cos(2x) é mais fácil de integrar (é uma função do tipo \cos(kx)). Aqui x é a variável de integração.

Passo 3

Substituímos a identidade dentro da integral:
\int_{0}^{\pi/6} \sin^{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/6} \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx.
Fatorando 1/2 para fora da integral:
\int_{0}^{\pi/6} \sin^{2}(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/6} \bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora calculamos as integrais elementares. Separando:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/6} \bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\pi/6} 1\,dx - \int_{0}^{\pi/6} \cos(2x)\,dx\right).
Conhecimentos usados:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x + C.
  • Regra geral: \displaystyle \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C, porque \frac{d}{dx}\bigl(\sin(ax)\bigr)=a\cos(ax). Aqui a=2, então
\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)+C.
Portanto uma primitiva de \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) é
F(x)=\frac{1}{2}\,x - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F(x) entre 0 e \pi/6:
\int_{0}^{\pi/6} \sin^{2}(x)\,dx = \left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4}\right]_{0}^{\pi/6}.
Calculamos os valores:
  • Para x=\pi/6: 2x=2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3} e \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Então
\frac{\pi/6}{2}-\frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{12}-\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}.
  • Para x=0: \frac{0}{2}-\frac{1}{4}\sin(0)=0.
    Subtraindo, o valor da integral é
\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}.

Passo 6

(Comentário rápido para motivação) Se quiser uma ideia numérica rápida: \frac{\pi}{12}\approx 0{,}261799 e \frac{\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}216506, então a integral é aproximadamente 0{,}045293. Mas a forma exata é preferível para provas.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}

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