Questão 2 ( 2,5 pontos). Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
Pergunta: encontrar o valor numérico exato da integral definida acima.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma
numa forma mais fácil de integrar. A identidade é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Desse trecho isolamos
. Fazendo álgebra,
Explicando: escrevemos
em termos de
porque
é mais fácil de integrar (é uma função do tipo
). Aqui
é a variável de integração.
Passo 3
Substituímos a identidade dentro da integral:
Fatorando
para fora da integral:
Passo 4
Agora calculamos as integrais elementares. Separando:
Conhecimentos usados:
-
. - Regra geral:
, porque . Aqui , então
Portanto uma primitiva de
é
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar
entre
e
:
Calculamos os valores:
- Para
: e . Então
- Para
: .
Subtraindo, o valor da integral é
Passo 6
(Comentário rápido para motivação) Se quiser uma ideia numérica rápida:
e
, então a integral é aproximadamente
. Mas a forma exata é preferível para provas.