O que se quer é encontrar, por escalonamento completo, a solução do sistema (seja ela única, infinita ou inexistente) mostrando passo a passo as operações elementares.]
Passo 2
Breve lembrete prático sobre operações elementares de linha (essas são as ferramentas que vamos usar, explicadas de forma bem leve):
Trocar duas linhas: L_i\leftrightarrow L_j.
Multiplicar uma linha por número não nulo: L_i\leftarrow cL_i com c\neq0.
Somar um múltiplo de uma linha em outra: L_i\leftarrow L_i + cL_j.
Agora aplico a primeira operação indicada: trocar L_{1} com L_{2}. Após a troca o sistema fica
Próximo passo: eliminar y na terceira linha usando a segunda (agora ambas só têm y,z). Vou combinar linhas para obter uma linha com só z. Uma combinação eficiente é multiplicar L_{2} por 3 e L_{3} por 5 e somar:
3\cdot(5y+3z)=15y+9z=33,
5\cdot(-3y-2z)=-15y-10z=-30.
Somando essas duas expressões obtemos -z=3. Em termos de operação de linha isso corresponde a fazer
L_{3}\leftarrow 3L_{2}+5L_{3},
que produz a equação -z=3.
Assim encontramos imediatamente
-z=3 \quad\Longrightarrow\quad z=-3.
Observação didática rápida: escolher multiplicadores que tornam os coeficientes de y opostos (aqui 15y e -15y) é uma técnica padrão para eliminar uma variável sem frações até o fim.
Passo 6
Agora fazemos substituição regressiva (back substitution) para encontrar y e depois x.
Usando a equação L_{3} original transformada -3y-2z=-6 e substituindo z=-3:
-3y-2(-3)=-6 \quad\Longrightarrow\quad -3y+6=-6.
Isolando y:
-3y=-12 \quad\Longrightarrow\quad y=4.
Em seguida usamos a primeira equação (que contém x) x-2y-z=-4 e substituímos y=4 e z=-3: