Estude os seguintes sistemas lineares via escalonamento (completo), quando indicado iniciar pela operação dada
\left\{\begin{array}{c}2 x+y+z=3 \\\ x-2 y-z=-4 \\\\ 3 x-3 y-z=-6\end{array}\right. L_{1} \leftrightarrow L_{2} e L_{3} \leftrightarrow 3 L_{1}-L_{3}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+y+z=3,\\[4pt] x-2y-z=-4,\\[4pt] 3x-3y-z=-6 \end{cases}
e pede que o sistema seja estudado via escalonamento (eliminação por operações sobre linhas), iniciando pelas operações indicadas:
L_{1}\leftrightarrow L_{2} \qquad\text{e}\qquad L_{3}\leftrightarrow 3L_{1}-L_{3}.
O que se quer é encontrar, por escalonamento completo, a solução do sistema (seja ela única, infinita ou inexistente) mostrando passo a passo as operações elementares.]

Passo 2

Breve lembrete prático sobre operações elementares de linha (essas são as ferramentas que vamos usar, explicadas de forma bem leve):
  • Trocar duas linhas: L_i\leftrightarrow L_j.
  • Multiplicar uma linha por número não nulo: L_i\leftarrow cL_i com c\neq0.
  • Somar um múltiplo de uma linha em outra: L_i\leftarrow L_i + cL_j.
Agora aplico a primeira operação indicada: trocar L_{1} com L_{2}. Após a troca o sistema fica
\begin{cases} x-2y-z=-4,\\[4pt] 2x+y+z=3,\\[4pt] 3x-3y-z=-6. \end{cases}
(É exatamente a mesma equação, só reordenada — útil para colocar um bom pivô em cima.)]

Passo 3

Agora aplico a segunda operação indicada: L_{3}\leftarrow 3L_{1}-L_{3}\). Vou avaliar \(3L_{1}\) e subtrair \(L_{3}\): - \(3L_{1}\) é \(3x-6y-3z=-12\). - Subtraindo \(L_{3}\) (que é \(3x-3y-z=-6\)) obtemos: \[(3x-6y-3z)-(3x-3y-z) = -3y-2z,
e no lado direito -12-(-6)=-6.
Portanto a nova L_{3} é a equação -3y-2z=-6.
Assim, após as duas operações iniciais o sistema está
\begin{cases} x-2y-z=-4,\\[4pt] 2x+y+z=3,\\[4pt] -3y-2z=-6. \end{cases}
Repare que agora a terceira equação já não contém (x] — ótimo, estamos a caminho do escalonamento.]

Passo 4

Objetivo: eliminar x da segunda linha usando a primeira (que tem coeficiente 1 em x). Faço L_{2}\leftarrow L_{2}-2L_{1}. Calculo termo a termo:
  • Coeficiente de x: 2x-2\cdot x=0 (eliminado).
  • Coeficiente de y: y-2\cdot(-2y)=y+4y=5y.
  • Coeficiente de z: z-2\cdot(-z)=z+2z=3z.
  • Lado direito: 3-2\cdot(-4)=3+8=11.
Logo a nova L_{2} é 5y+3z=11.
Agora o sistema está em forma parcialmente escalonada:
\begin{cases} x-2y-z=-4,\\[4pt] 5y+3z=11,\\[4pt] -3y-2z=-6. \end{cases}]

Passo 5

Próximo passo: eliminar y na terceira linha usando a segunda (agora ambas só têm y,z). Vou combinar linhas para obter uma linha com só z. Uma combinação eficiente é multiplicar L_{2} por 3 e L_{3} por 5 e somar:
3\cdot(5y+3z)=15y+9z=33,
5\cdot(-3y-2z)=-15y-10z=-30.
Somando essas duas expressões obtemos -z=3. Em termos de operação de linha isso corresponde a fazer
L_{3}\leftarrow 3L_{2}+5L_{3},
que produz a equação -z=3.
Assim encontramos imediatamente
-z=3 \quad\Longrightarrow\quad z=-3.
Observação didática rápida: escolher multiplicadores que tornam os coeficientes de y opostos (aqui 15y e -15y) é uma técnica padrão para eliminar uma variável sem frações até o fim.

Passo 6

Agora fazemos substituição regressiva (back substitution) para encontrar y e depois x.
Usando a equação L_{3} original transformada -3y-2z=-6 e substituindo z=-3:
-3y-2(-3)=-6 \quad\Longrightarrow\quad -3y+6=-6.
Isolando y:
-3y=-12 \quad\Longrightarrow\quad y=4.
Em seguida usamos a primeira equação (que contém x) x-2y-z=-4 e substituímos y=4 e z=-3:
x-2\cdot 4 -(-3) = -4 \quad\Longrightarrow\quad x-8+3=-4.
Logo
x-5=-4 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 7

Conferência rápida (verificação): substituindo (x,y,z)=(1,4,-3) nas equações originais
  • 2x+y+z = 2\cdot1 + 4 + (-3) = 2+4-3=3 (ok);
  • x-2y-z = 1-2\cdot4 -(-3)=1-8+3=-4 (ok);
  • 3x-3y-z = 3\cdot1 -3\cdot4 -(-3)=3-12+3=-6 (ok).
Tudo confere: solução única.

Resposta

x=1
y=4
z=-3

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