e pede que o estudemos por escalonamento (completo).
Informações dadas que usaremos:
As incógnitas são x,y,z,w.
Há três equações e quatro incógnitas.
Queremos transformar o sistema por operações elementares de linha até obter uma forma escalonada completa (reduzida), identificar pivôs, verificar consistência e escrever a solução geral.]
Passo 2
Formamos a matriz aumentada do sistema. Colocando as colunas na ordem das incógnitas x,y,z,w e a coluna dos termos independentes à direita, temos
Breve aula sobre operações de linha (para lembrar e usar na prova): existem três tipos de operações elementares que preservam o conjunto de soluções
substituir R_i por R_i + kR_j (somar múltiplo de outra linha);
trocar duas linhas R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo c, R_i \leftarrow cR_i.
Usamos essas operações para zerar entradas abaixo dos pivôs (eliminação) e, se quisermos a forma reduzida, também acima dos pivôs.]
Passo 3
Escolha de pivô e primeira operação: é conveniente ter um 1 no pivô da primeira coluna. Faço a troca das linhas R_1 e R_2:
Comentário didático: aparecer uma linha de zeros [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 0] indica que uma das equações era combinação das outras — não há contradição, apenas redução de posto. Como não apareceu uma linha [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid b] com b\neq0, o sistema é consistente (tem solução).]
Passo 7
Para completar o escalonamento reduzido (forma escalonada completa) precisamos zerar também acima do pivô da segunda coluna. Faço:
Interpretação final e parametrização (a parte prática para a prova): a matriz mostra pivôs nas colunas de x\) e \(y\). As colunas de \(z\) e \(w\) não têm pivô, portanto \(z\) e \(w\) são variáveis livres. Introduzimos parâmetros para elas: seja
\[z=s,\qquad w=t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Agora lemos as equações correspondentes às linhas não nulas:
Da primeira linha: x - \tfrac{2}{3}z + \tfrac{1}{3}w = 0. Substituindo z=s,\\ w=t,x = \tfrac{2}{3}s - \tfrac{1}{3}t.
Da segunda linha: y + \tfrac{1}{3}z + \tfrac{1}{3}w = 1. Substituindo,y = 1 - \tfrac{1}{3}s - \tfrac{1}{3}t.
Portanto a solução geral, escrita de forma clara (útil na prova), é
\begin{cases} x = \dfrac{2}{3}s - \dfrac{1}{3}t,\\[6pt] y = 1 - \dfrac{1}{3}s - \dfrac{1}{3}t,\\[6pt] z = s,\\[6pt] w = t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Também se pode escrever em forma vetorial (opcional):
Observação de prova: como o posto é 2\] (duas linhas independentes) e há \(4 incógnitas, obtemos 4-2=2 parâmetros livres, ou seja infinitas soluções com duas dimensões de liberdade.]