Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
sumk=0^+infty 1k ln k[ln (ln k)]^alpha, alpha>1

Passo 1

A série em questão é sumk=2^infty 1kln k[ln(ln k)]^alpha com alpha>1. O conteúdo aqui é o teste da integral, e vamos precisar mostrar que o termo geral é positivo e decrescente a partir de um certo k, para então comparar com a integral integral2^infty dxxln x[ln(ln x)]^alpha.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, definimos a função f(x)=1xln x[ln(ln x)]^alpha para x>=2. Observamos que f(x)>0 e, derivando, vemos que f'(x)<0 para x grande, ou seja, f é decrescente em [2,infty).

Passo 3

Agora calculamos a integral imprópria correspondente:
integral2^infty dxxln x[ln(ln x)]^alpha
Fazemos a primeira mudança de variável u=ln x. Então du=dxx e quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira:
integralln2^infty duu[ln u]^alpha
Em seguida, fazemos t=ln u, de modo que dt=duu. Para u=ln2, t=ln(ln2); e para utoinfty, ttoinfty. A integral se transforma em:
integralln(ln2)^infty dtt^alpha
Sabemos que integralA^infty t^-alpha,dt converge se, e somente se, alpha>1. Como aqui alpha>1, essa integral é finita.

Passo 4

Pelo teste da integral, como integral2^infty f(x),dx, a série sumk=2^infty f(k) converge. Como a série original difere apenas do índice inicial, concluímos que ela converge para alpha>1.

Resposta

A série converge (para todo alpha>1).

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