Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
Passo 1
A série em questão é
com
. O conteúdo aqui é o teste da integral, e vamos precisar mostrar que o termo geral é positivo e decrescente a partir de um certo
, para então comparar com a integral
.
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, definimos a função
para
. Observamos que
e, derivando, vemos que
para
grande, ou seja,
é decrescente em
.
Passo 3
Agora calculamos a integral imprópria correspondente:
Fazemos a primeira mudança de variável
Em seguida, fazemos
, de modo que
. Para
,
; e para
,
. A integral se transforma em:
Sabemos que
Passo 4
Pelo teste da integral, como
, a série
converge. Como a série original difere apenas do índice inicial, concluímos que ela converge para
.
Resposta
A série converge (para todo
).