- Um tanque contém inicialmente 100 litros de água pura. Então, água salgada, contendo 30 gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do início do processo.
b) Qual é a concentração de sal no tanque após “muito tempo”
?
Observação: Concentração
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b) Qual é a concentração de sal no tanque após “muito tempo”
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume constante (100 L) onde entra e sai solução à mesma vazão (10 L/min). Precisamos usar o modelo de mistura que leva a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal Q(t).
Passo 2
Vamos montar o balanço de sal: a taxa de entrada de sal é a concentração de entrada vezes vazão, ou seja, 30 g/L·10 L/min = 300 g/min. A taxa de saída é a concentração no tanque $\tfrac{Q(t)}{100}$ g/L multiplicada pela vazão 10 L/min, ou seja, $0.1Q(t)$ g/min. Assim obtemos a ODE de mistura:
Temos a equação diferencial linear
Temos a equação diferencial linear
Passo 3
Para resolver, usamos fator integrante. Reescrevendo em forma padrão:
Passo 4
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados:
Passo 5
o lado esquerdo é derivada de
. Integrando:
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
Passo 7
Logo a solução geral é:
Passo 8
Para
, o termo
vai a zero, ficando
g de sal. A concentração em equilíbrio é
Resposta
Quantidade de sal:
g. Concentração no limite: 30 g/L.