1. Um tanque contém inicialmente 100 litros de água pura. Então, água salgada, contendo 30 gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
    a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
    b) Qual é a concentração de sal no tanque após “muito tempo” (t infty) ?
Observação: Concentração =Q / V

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante (100 L) onde entra e sai solução à mesma vazão (10 L/min). Precisamos usar o modelo de mistura que leva a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal Q(t).

Passo 2

Vamos montar o balanço de sal: a taxa de entrada de sal é a concentração de entrada vezes vazão, ou seja, 30 g/L·10 L/min = 300 g/min. A taxa de saída é a concentração no tanque $\tfrac{Q(t)}{100}$ g/L multiplicada pela vazão 10 L/min, ou seja, $0.1Q(t)$ g/min. Assim obtemos a ODE de mistura:
Temos a equação diferencial linear
tfracQ(t)100

Passo 3

Para resolver, usamos fator integrante. Reescrevendo em forma padrão:
dQdt + 0.1,Q = 300

Passo 4

O fator integrante é e^0.1t. Multiplicando ambos os lados:
e^0.1tdQdt + 0.1e^0.1tQ = 300e^0.1t

Passo 5

o lado esquerdo é derivada de Qe^0.1t. Integrando:
Qe^0.1t = integral 300e^0.1tdt = 300cdot10e^0.1t + C = 3000e^0.1t + C

Passo 6

Aplicando a condição inicial Q(0)=0:
0cdot1 = 3000cdot1 + C implies C = -3000

Passo 7

Logo a solução geral é:
Q(t) = 3000 - 3000e^-0.1t = 3000l(1 - e^-0.1tr)

Passo 8

Para ttoinfty, o termo e^-0.1t vai a zero, ficando Q(infty)=3000 g de sal. A concentração em equilíbrio é 3000 g/100 L = 30 g/L

Resposta

Quantidade de sal: Q(t)=3000l(1 - e^-0.1tr) g. Concentração no limite: 30 g/L.

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