1. Num tanque há 100 litros de uma solução contendo 30 gramas de sal. Água (sem sal) entra no tanque à razão de 6 litros por minuto e a mistura se escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concentração uniforme por agitação.
    a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo t qualquer.
    b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
    c) Qual será a concentração de sal quando o tanque tiver 150 litros de água?

Passo 1

O enunciado pede para modelar o teor de sal num tanque que começa com 100 L de solução contendo 30 g de sal. Entra água pura a 6 L/min e sai mistura a 4 L/min, mantendo-se bem agitado (concentração uniforme). Precisamos achar a quantidade de sal S(t) e a concentração C(t)=S(t)/V(t) em função do tempo t, depois avaliar C(35) e também C quando o volume chega a 150 L.

Passo 2

Como a entrada é 6 L/min e a saída 4 L/min, o volume V(t) cresce a uma taxa de 2 L/min. Como V(0)=100 L, temos
V(t)=100+2t

Passo 3

Para S(t), montamos a equação diferencial usando o princípio de mistura: a vazão de sal que entra é zero (água pura) e a que sai é a concentração no instante t vezes a vazão de saída. Logo,
dSdt=0-4cdotS(t)V(t)=-4S100+2t

Passo 4

Separamos variáveis:
dSS=-4dt100+2t=-2dt50+t
Integrando dos dois lados,
ln S=-2ln(50+t)+C1
o que dá
S(t)=C,(50+t)^-2

Passo 5

Usando a condição inicial S(0)=30 g, obtemos
30=Ccdot50^-2implies C=30cdot2500=75000
Assim,
S(t)=75000(50+t)^2
e a concentração
C(t)=S(t)V(t)=75000/(50+t)^2100+2t=37500(50+t)^3(g/L)

Passo 6

Para t=35 min, o volume é V(35)=100+2·35=170 L e a concentração
C(35)=37500(50+35)^3=3750085^3approx0.06104 g/L

Passo 7

Quando o volume atinge 150 L, resolvemos 100+2t=150 ⇒ t=25 min. Então
C(25)=37500(50+25)^3=3750075^3approx0.08889 g/L

Resposta

a) S(t)=\frac{75000}{(50+t)^2} g, C(t)=\frac{37500}{(50+t)^3} g/L
b) C(35)≈0.06104 g/L
c) C quando V=150 L ≈0.08889 g/L

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