Estude as séries com relação a convergência e divergência.
.
Passo 1
O enunciado pede analisar a convergência da série
Informações dadas e coisas importantes a observar:
- A série tem termos positivos quando
, isto é, para . Note que , então o termo é problemático se tratarmos com real não inteiro. Para a questão de convergência isso não é um problema: finitos termos iniciais não alteram convergência, portanto podemos (e iremos) começar a ver a série a partir de (ou melhor, a partir de algum ) sem alterar o resultado. - Objetivo: determinar se a série converge ou diverge. Vou estudar o comportamento para grandes
, usando um teste apropriado.
Passo 2
Escolha do método: como os termos são positivos (para
suficientemente grande) e a expressão é bem representada por uma função contínua e decrescente para
grande, o Teste da Integral (ou Critério da Integral) é adequado. Definimos a função contínua correspondente
Para aplicar o Teste da Integral precisamos garantir que
seja positiva, contínua e decrescente em
para algum
. Positividade e continuidade são claras para
. Agora mostramos que
é decrescente para
.
Passo 3
Mostrando que
é decrescente para
. Escrevemos
com
Calculamos
. Usando a regra do produto e a derivada de
:
Agora cada termo:
Substituindo:
Para
temos
e
, logo o parêntese é positivo e
. Assim
para
. Como
é crescente,
é decrescente para
. Portanto as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas em
com qualquer
(por exemplo
).]
Passo 4
Aplicando o Teste da Integral. Consideramos a integral imprópria
Fazemos a troca de variável natural para simplificar: seja
Então
Quando
temos
(um valor positivo pequeno) e quando
temos
. Com essa mudança a integral vira
Passo 5
Estudo da integral obtida. A integral
é uma integral impropria do tipo p‑integral em
. Sabemos que
- se
, então converge (porque a primitiva é e , o termo em tende a zero); - se
, a integral diverge ( dá divergente e dá expoente com crescimento infinito).
Portanto a integral converge se e somente se
.
Passo 6
Conclusão via Teste da Integral: como a integral de
em
converge se e somente se
, pelo Teste da Integral a série
converge se e somente se
. Voltemos ao início: a diferença entre começar em
ou em
é apenas um número finito de termos (se houver termo indefinido em
podemos removê‑lo ou tomar a série a partir de
); isso não altera a convergência. Assim o comportamento assintótico da série inteira é determinado pela condição
.
Resposta
A série converge se e somente se
. Em particular, para o caso dado
, a série é convergente.