Estude as séries com relação a convergência e divergência.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)[\ln (\ln (n))]^{\alpha}}, \alpha>1.

Passo 1

O enunciado pede analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)[\ln(\ln(n))]^{\alpha}},\qquad \alpha>1.
Informações dadas e coisas importantes a observar:
  • A série tem termos positivos quando \ln(\ln(n))>0, isto é, para n>e. Note que \ln(\ln(2))<0, então o termo n=2 é problemático se tratarmos [\ln(\ln(n))]^{\alpha} com \alpha real não inteiro. Para a questão de convergência isso não é um problema: finitos termos iniciais não alteram convergência, portanto podemos (e iremos) começar a ver a série a partir de n=3 (ou melhor, a partir de algum N\ge 3) sem alterar o resultado.
  • Objetivo: determinar se a série converge ou diverge. Vou estudar o comportamento para grandes n, usando um teste apropriado.

Passo 2

Escolha do método: como os termos são positivos (para n suficientemente grande) e a expressão é bem representada por uma função contínua e decrescente para x grande, o Teste da Integral (ou Critério da Integral) é adequado. Definimos a função contínua correspondente
f(x)=\frac{1}{x\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{\alpha}},\qquad x>e.
Para aplicar o Teste da Integral precisamos garantir que f seja positiva, contínua e decrescente em [A,\infty) para algum A>e. Positividade e continuidade são claras para x>e. Agora mostramos que f é decrescente para x>e.

Passo 3

Mostrando que f é decrescente para x>e. Escrevemos f(x)=\dfrac{1}{h(x)} com
h(x)=x\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{\alpha}.
Calculamos h'(x). Usando a regra do produto e a derivada de [\ln(\ln(x))]^{\alpha}:
\begin{aligned} h'(x) &= \frac{d}{dx}\big(x\big)\cdot \ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{\alpha} + x\cdot \frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)\cdot [\ln(\ln(x))]^{\alpha}\\[4pt] &\quad + x\ln(x)\cdot \frac{d}{dx}\big([\ln(\ln(x))]^{\alpha}\big). \end{aligned}
Agora cada termo:
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\big([\ln(\ln(x))]^{\alpha}\big) = \alpha[\ln(\ln(x))]^{\alpha-1}\cdot\frac{1}{x\ln(x)}.
Substituindo:
\begin{aligned} h'(x) &= \ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{\alpha} + [\ln(\ln(x))]^{\alpha} + \alpha[\ln(\ln(x))]^{\alpha-1}\\[4pt] &= [\ln(\ln(x))]^{\alpha-1}\Big( (\ln(x))(\ln(\ln(x))) + \ln(\ln(x)) + \alpha\Big). \end{aligned}
Para x>e temos \ln(x)>1 e \ln(\ln(x))>0, logo o parêntese é positivo e [\ln(\ln(x))]^{\alpha-1}>0. Assim h'(x)>0 para x>e. Como h é crescente, f=1/h é decrescente para x>e. Portanto as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas em [A,\infty) com qualquer A>e (por exemplo A=3).]

Passo 4

Aplicando o Teste da Integral. Consideramos a integral imprópria
\int_{3}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{\alpha}}\,dx.
Fazemos a troca de variável natural para simplificar: seja
t=\ln(\ln(x)).
Então
dt=\frac{1}{x\ln(x)}\,dx.
Quando x=3 temos t=\ln(\ln(3)) (um valor positivo pequeno) e quando x\to\infty temos t\to\infty. Com essa mudança a integral vira
\int_{\ln(\ln(3))}^{\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}\,dt.

Passo 5

Estudo da integral obtida. A integral
\int_{\ln(\ln(3))}^{\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}\,dt
é uma integral impropria do tipo p‑integral em t. Sabemos que
  • se \alpha>1, então \int_{a}^{\infty} t^{-\alpha}\,dt converge (porque a primitiva é \dfrac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} e 1-\alpha<0, o termo em t\to\infty tende a zero);
  • se \alpha\le 1, a integral diverge ( \alpha=1 \int 1/t\,dt divergente e \alpha<1 dá expoente 1-\alpha>0 com crescimento infinito).
Portanto a integral converge se e somente se \alpha>1.

Passo 6

Conclusão via Teste da Integral: como a integral de f(x) em [3,\infty) converge se e somente se \alpha>1, pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)[\ln(\ln(n))]^{\alpha}}
converge se e somente se \alpha>1. Voltemos ao início: a diferença entre começar em n=2 ou em n=3 é apenas um número finito de termos (se houver termo indefinido em n=2 podemos removê‑lo ou tomar a série a partir de n=3); isso não altera a convergência. Assim o comportamento assintótico da série inteira é determinado pela condição \alpha>1.

Resposta

A série converge se e somente se \alpha>1. Em particular, para o caso dado \alpha>1, a série é convergente.

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