Determine o tipo de convergência (se a série for convergente):
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{1 / n}}{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{e^{1/n}}{n}
e pede para determinar o tipo de convergência, isto é, se a série converge e — em caso afirmativo — se ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente.\
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{termo geral } a_n^{(s)} = (-1)^{n}\frac{e^{1/n}}{n},
ou seja, a parte positiva (módulo) do termo é
a_n:=\frac{e^{1/n}}{n}>0,
e os sinais alternam por causa do fator (-1)^n.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para decidir o tipo de convergência normalmente fazemos duas verificações:
  1. Verificar se a série alternada \sum (-1)^n a_n converge (por exemplo, pelo teste de Leibniz / série alternada): precisamos checar que a_n\to0 e que a_n é monótona não crescente (eventualmente).
  2. Verificar se a série de termos positivos \sum a_n=\sum \dfrac{e^{1/n}}{n} converge; se convergir a série original seria absolutamente convergente, se não convergir então—se a alternada convergir—ela será apenas condicionalmente convergente.

Passo 3

Mostraremos primeiro que a_n\to0. Calcule o limite:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n}.
Aqui usamos que \lim_{n\to\infty}e^{1/n}=e^{0}=1 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Como produto de limites (quando existem),
\lim_{n\to\infty}\frac{e^{1/n}}{n}=\left(\lim_{n\to\infty}e^{1/n}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\right)=1\cdot 0=0.
Portanto a_n\to0, condição necessária para qualquer teste de convergência de série alternada.

Passo 4

Agora precisamos verificar a monotonicidade: mostrar que a_n=\dfrac{e^{1/n}}{n} é (eventualmente) decrescente. Uma maneira sistemática é considerar a função contínua
f(x)=\frac{e^{1/x}}{x},\qquad x>0,
e mostrar que f'(x)<0 para x\ge1; então f é decrescente em [1,\infty) e, em particular, a sequência a_n=f(n) é decrescente a partir de n=1.
Calculemos a derivada passo a passo. Escrevemos f(x)=x^{-1}e^{1/x}. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)\,e^{1/x}+x^{-1}\,\frac{d}{dx}\big(e^{1/x}\big).
As derivadas são \dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2} e \dfrac{d}{dx}(e^{1/x})=e^{1/x}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right). Substituindo:
f'(x)=-x^{-2}e^{1/x}+x^{-1}\left(e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\right) =-e^{1/x}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right).
Factorizando,
f'(x)=-e^{1/x}\frac{x+1}{x^{3}}.
Como e^{1/x}>0 e \dfrac{x+1}{x^{3}}>0 para x>0, segue que f'(x)<0 para todo x>0. Em particular, f é estritamente decrescente para x\ge1, então a sequência \big(a_n\big)_{n\ge1} é decrescente.

Passo 5

Apresento o enunciado do teste que vamos usar (teste de Leibniz / série alternada), e explico o que cada coisa significa:
  • Teorema (teste de Leibniz): se \big(a_n\big) é uma sequência de números positivos tal que a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande (ou seja, é não crescente a partir de algum índice) e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternada
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n
converge. Além disso, o resto ao truncar após N termos tem módulo menor ou igual a a_{N+1}.
No nosso caso já mostramos em Passo 3 que a_n\to0 e em Passo 4 que a_n é decrescente para n\ge1. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas, e assim a série alternada converge.

Passo 6

Agora verificamos se a série converge absolutamente, isto é, se a série de termos positivos
\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{1/n}}{n}
converge. Usamos o teste da comparação por limite (limit comparison) com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que sabemos diverge. Calcule o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{e^{1/n}}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}e^{1/n}.
Como já observado, \lim_{n\to\infty}e^{1/n}=1. O teste da comparação por limite diz que, se L é finito e positivo, então \sum a_n e \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Como \sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), segue que \sum a_n também diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 7

Resumo do que foi provado (sem repetir em forma de resposta final): mostramos que (i) os termos positivos a_n=\dfrac{e^{1/n}}{n} tendem a zero e são decrescentes, então a série alternada satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz e converge; (ii) a série dos módulos \sum a_n diverge por comparação limite com a série harmônica. Assim a série converge, mas não converge absolutamente — isto é, a convergência é condicional. Força aí: já estamos quase em cima da prova, mas esse tipo de raciocínio é exatamente o que costumam pedir — reconhece o padrão e lembra do teste de Leibniz + comparação para a absoluta.

Resposta

Convergência condicional.

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