Determine o tipo de convergência (se a série for convergente):
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar o tipo de convergência, isto é, se a série converge e — em caso afirmativo — se ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente.\
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
ou seja, a parte positiva (módulo) do termo é
e os sinais alternam por causa do fator
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para decidir o tipo de convergência normalmente fazemos duas verificações:
- Verificar se a série alternada
converge (por exemplo, pelo teste de Leibniz / série alternada): precisamos checar que e que é monótona não crescente (eventualmente). - Verificar se a série de termos positivos
converge; se convergir a série original seria absolutamente convergente, se não convergir então—se a alternada convergir—ela será apenas condicionalmente convergente.
Passo 3
Mostraremos primeiro que
. Calcule o limite:
Aqui usamos que
e
. Como produto de limites (quando existem),
Portanto
, condição necessária para qualquer teste de convergência de série alternada.
Passo 4
Agora precisamos verificar a monotonicidade: mostrar que
é (eventualmente) decrescente. Uma maneira sistemática é considerar a função contínua
e mostrar que
para
; então
é decrescente em
e, em particular, a sequência
é decrescente a partir de
.
Calculemos a derivada passo a passo. Escrevemos
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
As derivadas são
e
. Substituindo:
Factorizando,
Como
e
para
, segue que
para todo
. Em particular,
é estritamente decrescente para
, então a sequência
é decrescente.
Passo 5
Apresento o enunciado do teste que vamos usar (teste de Leibniz / série alternada), e explico o que cada coisa significa:
- Teorema (teste de Leibniz): se
é uma sequência de números positivos tal que para todo suficientemente grande (ou seja, é não crescente a partir de algum índice) e , então a série alternada
converge. Além disso, o resto ao truncar após
termos tem módulo menor ou igual a
.
No nosso caso já mostramos em Passo 3 que e em Passo 4 que
é decrescente para
. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz estão satisfeitas, e assim a série alternada converge.
No nosso caso já mostramos em Passo 3 que
Passo 6
Agora verificamos se a série converge absolutamente, isto é, se a série de termos positivos
converge. Usamos o teste da comparação por limite (limit comparison) com a série harmônica
, que sabemos diverge. Calcule o limite
Como já observado,
. O teste da comparação por limite diz que, se
é finito e positivo, então
e
têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Como
diverge (série harmônica), segue que
também diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.
Passo 7
Resumo do que foi provado (sem repetir em forma de resposta final): mostramos que (i) os termos positivos
tendem a zero e são decrescentes, então a série alternada satisfaz as hipóteses do teste de Leibniz e converge; (ii) a série dos módulos
diverge por comparação limite com a série harmônica. Assim a série converge, mas não converge absolutamente — isto é, a convergência é condicional. Força aí: já estamos quase em cima da prova, mas esse tipo de raciocínio é exatamente o que costumam pedir — reconhece o padrão e lembra do teste de Leibniz + comparação para a absoluta.
Resposta
Convergência condicional.