Determine o tipo de convergência (se a série for convergente):
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} 2^{-n}

Passo 1

O enunciado dá a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}2^{-n}
e pede para determinar o tipo de convergência (caso a série seja convergente). Informações relevantes que temos: o termo geral é
a_n = (-1)^{n}2^{-n}.
Não farei ainda argumentos de método — aqui apenas identifiquei o que é pedido e qual é o termo geral da série.

Passo 2

Transformação útil: observe que podemos escrever o termo geral como uma potência única. De fato,
a_n = (-1)^{n}2^{-n}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Ou seja, a série é uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} com r = -\tfrac{1}{2}.
Explicação da fórmula da série geométrica (mini-aula): para a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} consideramos a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N} r^{n} = r + r^{2} + \cdots + r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo, obtemos
rS_N = r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{N+1},
portanto
S_N - rS_N = r - r^{N+1}.
Fatorando, (1-r)S_N = r(1-r^{N}), logo
S_N = \frac{r(1-r^{N})}{1-r}\quad\text{se }r\neq 1.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e assim a soma infinita converge para
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série geométrica diverge (porque r^{N} não tende a zero).

Passo 3

Aplicando o critério anterior ao nosso caso: temos r = -\tfrac{1}{2} e
|r|=\left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1.
Logo a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} converge. Portanto a série original converge.

Passo 4

Agora vamos à noção de convergência absoluta. Definição (explicada): uma série \sum a_n converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge (propriedade: convergência absoluta implica convergência).
Calculemos \sum |a_n| para a nossa série:
|a_n|=\left|\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}\right|=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},
então
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Essa é outra série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e |r|<1, portanto ela converge. Pelo critério, a série original converge absolutamente.

Passo 5

Como a série é geométrica com r=-\tfrac{1}{2}, podemos também dar a soma explícita usando a fórmula \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\dfrac{r}{1-r}. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}2^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}=-\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Resumo didático e comparação com outro exemplo: concluímos que a série converge absolutamente porque a série dos valores absolutos \sum (\tfrac{1}{2})^{n} converge. Como exemplo para fixar a diferença: a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\tfrac{1}{n} converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois \sum 1/n diverge) — esse é um caso de convergência condicional. No nosso problema, esse não é o caso: aqui a convergência é absoluta.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge). Soma = -\tfrac{1}{3}.

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