Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e assim a soma infinita converge para
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série geométrica diverge (porque r^{N} não tende a zero).
Passo 3
Aplicando o critério anterior ao nosso caso: temos r = -\tfrac{1}{2} e
|r|=\left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1.
Logo a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} converge. Portanto a série original converge.
Passo 4
Agora vamos à noção de convergência absoluta. Definição (explicada): uma série \sum a_n converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n também converge (propriedade: convergência absoluta implica convergência).
Resumo didático e comparação com outro exemplo: concluímos que a série converge absolutamente porque a série dos valores absolutos \sum (\tfrac{1}{2})^{n} converge. Como exemplo para fixar a diferença: a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\tfrac{1}{n} converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois \sum 1/n diverge) — esse é um caso de convergência condicional. No nosso problema, esse não é o caso: aqui a convergência é absoluta.